从勾股定理到余弦相似度-程序员的数学基础

大部分程序员由于理工科的背景，有一些高数、线性代数、概率论与数理统计的数学基础。所以当机器学习的热潮来临的时候，都跃跃欲试，对机器学习的算法以及背后的数学思想有比较强烈的探索欲望。

本文的作者就是其中的一位。然而实践的过程中，又发现数学知识的理解深度有些欠缺，在理解一些公式背后的意义时，有些力不从心的感觉。因此梳理了一些数学上的知识盲点，理顺自己的知识脉络，顺便分享给有需要的人。

本文主要讲解余弦相似度的相关知识点。相似度计算用途相当广泛，是搜索引擎、推荐引擎、分类聚类等业务场景的核心点。为了理解清楚余弦相似度的来龙去脉，我将会从最简单的初中数学入手，逐步推导出余弦公式。然后基于余弦公式串讲一些实践的例子。

一、业务背景

通常我们日常开发中，可能会遇到如下的业务场景。

精准营销，图像处理，搜索引擎 这三个看似风马牛不相及的业务场景，其实面临一个共同的问题就是相似度的计算。例如精准营销中的人群扩量涉及用户相似度的计算；图像分类问题涉及图像相似度的计算，搜索引擎涉及查询词和文档的相似度计算。相似度计算中，可能由于《数学之美》的影响，大家最熟悉的应该是余弦相似度。那么余弦相似度是怎么推导出来的呢？

二、数学基础

理解余弦相似度，要从理解金字塔开始。我们知道金字塔的底座是一个巨大的正方形。例如吉萨大金字塔的边长超过230m。构造这样一个巨大的正方形，如何保证构造出来的图形不走样呢？比如如何确保构造的结果不是菱形或者梯形。

1、勾股定理

要保证构造出来的四边形是正方形，需要保证两个点：其一是四边形的边长相等；其二是四边形的角是直角。四边形的边长相等很容易解决，在工程实践中，取一根定长的绳子作为边长就可以了。如何保障直角呢？古人是利用勾股定理解决的，更切确地说是勾股定理的逆定理。

构造一个三角形，保证三角形的三边长分别是3,4,5。那么边长为5的边对应的角为直角。中国有个成语“无规矩不成方圆”，其中的矩，就是直角的尺。

勾股证明是初中数学的知识，理解很容易。证明也很简单，据说爱因斯坦11岁就发现了一种证明方法。勾股定理的证明方法据统计有超过400种， 感兴趣的同学可以自行了解。另勾股定理也是费马大定理的灵感来源，费马大定理困扰了世间智者300多年，也诞生了很多的逸闻趣事，这里不赘述。

2、余弦定理

勾股定理存在着一个很大的限制，就是要求三角形必须是直角三角形。那么对于普通的三角形，三个边存在什么样的关系呢？这就引出了余弦定理。

余弦定理指出了任意三角形三边的关系，也是初中就可以理解的数学知识，证明也比较简单，这里就略过了。

其实对于三角形，理解了勾股定理和余弦定理。就已经掌握了三角形的很多特性和秘密了。比如根据等边三角形，可以推导出cos(60)=1/2。但是如果想理解几何更多的秘密，就需要进入解析几何的世界。这个数学知识也不算很高深，高中数学知识。

这里我们理解最简单就可以了，那就是三角形在直角坐标系中的表示。所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，我们可以理解为三角形的另一种表现形式。

比如我们可以用a,b,c三个边描述一个三角形；在平面直角坐标系中，我们可以用两个向量表示一个三角形。

3、余弦相似度

当我们引入了直角坐标系后，三角形的表示就进入了更灵活、更强大和更抽象的境界了。几何图形可以用代数的方法来计算，代数可以用几何图形形象化表示，大大降低理解难度。比如我们用一个向量来表示三角形的一个边，就可以从二维空间直接扩展到高维空间。

这里，向量的定义跟点是一样的；向量的乘法也只是各个维度值相乘累加；向量的长度看似是新的东西，其实绕了一个圈，本质上还是勾股定理，只是勾股定理从二维空间扩展到了N维空间而已。而且向量长度又是两个相同向量乘法的特例。数学的严谨性在这里体现得淋漓尽致。

结合勾股定理，余弦定理，直角坐标系，向量。我们就可以很自然地推导出余弦公式了，这里唯一的理解难点就是勾股定理和余弦定理都是用向量来表示。

得到了余弦公式后，我们该怎么理解余弦公式呢？

极端情况下，两个向量重合了，就代表两个向量完全相似。然而这里的完全相似，其实是指向量的方向。向量有方向和长度两个要素，这里只使用方向这一个要素，在实践中就埋下了隐患。但是毕竟一个数学模型建立起来了。我们可以用这个模型解决一些实际中的问题了。

所谓数学模型，有可能并不需要高深的数学知识，对外的表现也仅仅是一个数学公式。比如余弦定理这个数学模型，高中数学知识就足够理解了。而且关于模型，有这样一个很有意思的论述：“所有的数学模型都是错的，但是有些是有用的”。这里我们更多关注其有用的一面。

理解了向量夹角，那么该怎么理解向量呢？它仅仅是三角形的一条边吗？ 

人生有几何，万物皆向量。向量在数学上是简单的抽象，这个抽象我们可以用太多实际的场景来使它落地。比如用向量来指代用户标签，用向量来指代颜色，用向量来指代搜索引擎的逻辑...

三、业务实践

理解了余弦定理，理解了数学建模的方式。接下来我们就可以做一些有意思的事情了。比如前面提到的三个业务场景，我们可以看看如何用余弦相似度来解决。当然实际问题肯定远远要复杂得多，但是核心的思想都是类似的。

案例1：精准营销

假设一次运营计划，比如我们圈定了1w的用户，如何扩展到10万人呢？

利用余弦相似度，我们这里其实最核心的问题就是：如何将用户向量化？

将每个用户视为一个向量，用户的每个标签值视为向量的一个维度。当然这里实际工程中还有特征归一化，特征加权等细节。我们这里仅作为演示，不陷入到细节中。

对于人群，我们可以取人群中，所有用户维度值的平均值，作为人群向量。这样处理后，就可以使用余弦公式计算用户的相似度了。

 

我们通过计算大盘用户中每个用户跟圈定人群的相似度，取topN即可实现人群的扩量。

直接“show me the code”吧！ 

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
 
 
def cos_similarity(v1, v2):
    num = float(np.dot(v1.T, v2))  # 若为行向量则 A.T * B
    denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)
    if denom > 0:
        cos = num / denom  # 余弦值
        sim = 0.5 + 0.5 * cos  # 归一化
        return sim
    return 0
 
 
if __name__ == '__main__':
 
    u_tag_list = [
        ["女", "26", "是", "白领"],
        ["女", "35", "是", "白领"],
        ["女", "30", "是", "白领"],
        ["女", "22", "是", "白领"],
        ["女", "20", "是", "白领"]
    ]
    new_user = ["女", "20", "是", "白领"]
 
    u_tag_vector = np.array([
        [1, 26, 1, 1],
        [1, 35, 1, 1],
        [1, 30, 1, 1],
        [1, 22, 1, 1],
        [1, 20, 1, 1]
    ])
 
    c1 = u_tag_vector[0]
    c1 += u_tag_vector[1]
    c1 += u_tag_vector[2]
    c1 += u_tag_vector[3]
    c1 += u_tag_vector[4]
    c1 = c1/5
     
    new_user_v1 = np.array([1, 36, 1, 1])
    new_user_v2 = np.array([-1, 20, 0, 1])
    print("vector-u1: ", list(map(lambda x: '%.2f' % x, new_user_v1.tolist()[0:10])))
    print("vector-u2: ", list(map(lambda x: '%.2f' % x, new_user_v2.tolist()[0:10])))
    print("vector-c1: ", list(map(lambda x: '%.2f' % x, c1.tolist()[0:10])))
    print("sim<u1,c1>: ", cos_similarity(c1, new_user_v1))
    print("sim<u2,c1>: ", cos_similarity(c1, new_user_v2))

案例2：图像分类

有两类图片，美食和萌宠。对于新的图片，如何自动分类呢？ 

 

这里我们的核心问题是：图片如何向量化？

图片由像素构成，每个像素有RGB三个通道。由于像素粒度太细，将图片分割成大小相对的格子，每个格子定义3个维度，维度值取格子内像素均值。

参考博客： 图像基础7 图像分类——余弦相似度

下面也是给出样例代码:

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
import cv2
 
 
def cos_similarity(v1, v2):
    num = float(np.dot(v1.T, v2))  # 若为行向量则 A.T * B
    denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)
    if denom > 0:
        cos = num / denom  # 余弦值
        sim = 0.5 + 0.5 * cos  # 归一化
        return sim
    return 0
 
 
def build_image_vector(im):
    """
 
    :param im:
    :return:
    """
    im_vector = []
 
    im2 = cv2.resize(im, (500, 300))
    w = im2.shape[1]
    h = im2.shape[0]
    h_step = 30
    w_step = 50
 
    for i in range(0, w, w_step):
        for j in range(0, h, h_step):
            each = im2[j:j+h_step, i:i+w_step]
            b, g, r = each[:, :, 0], each[:, :, 1], each[:, :, 2]
            im_vector.append(np.mean(b))
            im_vector.append(np.mean(g))
            im_vector.append(np.mean(r))
    return np.array(im_vector)
 
 
def show(imm):
    imm2 = cv2.resize(imm, (510, 300))
    print(imm2.shape)
    imm3 = imm2[0:50, 0:30]
    cv2.imshow("aa", imm3)
 
    cv2.waitKey()
    cv2.destroyAllWindows()
    imm4 = imm2[51:100, 0:30]
    cv2.imshow("bb", imm4)
    cv2.waitKey()
    cv2.destroyAllWindows()
    imm2.fill(0)
 
 
def build_image_collection_vector(p_name):
    path = "D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\"
 
    c1_vector = np.zeros(300)
    for pic in p_name:
        imm = cv2.imread(path + pic)
        each_v = build_image_vector(imm)
        a=list(map(lambda x:'%.2f' % x, each_v.tolist()[0:10]))
        print("p1: ", a)
        c1_vector += each_v
    return c1_vector/len(p_name)
 
 
if __name__ == '__main__':
 
    v1 = build_image_collection_vector(["food1.jpg", "food2.jpg", "food3.jpg"])
    v2 = build_image_collection_vector(["pet1.jpg", "pet2.jpg", "pet3.jpg"])
 
    im = cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\pet4.jpg")
    v3 = build_image_vector(im)
    print("v1,v3:", cos_similarity(v1,v3))
    print("v2,v3:", cos_similarity(v2,v3))
    a = list(map(lambda x: '%.2f' % x, v3.tolist()[0:10]))
    print("p1: ", a)
    im2 = cv2.imread("D:\\python-workspace\\cos-similarity\\images\\food4.jpg")
    v4 = build_image_vector(im2)
 
    print("v1,v4:", cos_similarity(v1, v4))
    print("v2,v4:", cos_similarity(v2, v4))

至于代码中用到的图片，用户可以自行收集即可。笔者也是直接从搜索引擎中截取的。程序计算的结果也是很直观的，V2(萌宠)跟图像D1的相似度为0.956626，比V1(美食)跟图像D1的相似度0.942010更高，所以结果也是很明确的。

案例3：文本检索

假设有三个文档，描述的内容如下。一个是疫情背景下，苹果公司的资讯，另外两个是水果相关的信息。输入搜索词“苹果是我最喜欢的水果”，  该怎么找到最相关的文档？

这里的核心问题也是文本和搜索词如何向量化？

这里其实可以把搜索词也视为文档，这样问题就简化成：文档如何向量化？

出于简化问题的角度，我们可以给出最简单的答案:文档由词组成，每个词作为一个维度；文档中词出现的频率作为维度值。

当然，实际操作时我们维度值的计算会更复杂一些，比如用TF-IDF。这里用词频(TF)并不影响演示效果，所以我们从简。

将文本向量化后，剩下也是依样画葫芦，用余弦公式计算相似度, 流程如下：

最后，给出代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import numpy.linalg as linalg
import jieba
 
 
def cos_similarity(v1, v2):
    num = float(np.dot(v1.T, v2))  # 若为行向量则 A.T * B
    denom = linalg.norm(v1) * linalg.norm(v2)
    if denom > 0:
        cos = num / denom  # 余弦值
        sim = 0.5 + 0.5 * cos  # 归一化
        return sim
    return 0
 
 
def build_doc_tf_vector(doc_list):
    num = 0
    doc_seg_list = []
    word_dic = {}
    for d in doc_list:
        seg_list = jieba.cut(d, cut_all=False)
        seg_filterd = filter(lambda x: len(x)>1, seg_list)
 
        w_list = []
        for w in seg_filterd:
            w_list.append(w)
            if w not in word_dic:
                word_dic[w] = num
                num+=1
 
        doc_seg_list.append(w_list)
 
    print(word_dic)
 
    doc_vec = []
 
    for d in doc_seg_list:
        vi = [0] * len(word_dic)
        for w in d:
           vi[word_dic[w]] += 1
        doc_vec.append(np.array(vi))
        print(vi[0:40])
    return doc_vec, word_dic
 
 
def build_query_tf_vector(query, word_dic):
    seg_list = jieba.cut(query, cut_all=False)
    vi = [0] * len(word_dic)
    for w in seg_list:
        if w in word_dic:
            vi[word_dic[w]] += 1
    return vi
 
 
if __name__ == '__main__':
    doc_list = [
        """
         受全球疫情影响，3月苹果宣布关闭除大中华区之外数百家全球门店，其庞大的供应链体系也受到冲击，
         尽管目前富士康等代工厂已经开足马力恢复生产，但相比之前产能依然受限。中国是iPhone生产的大本营，
         为了转移风险，iPhone零部件能否实现印度制造？实现印度生产的最大难点就是，相对中国，印度制造业仍然欠发达
        """,
        """
        苹果是一种低热量的水果，每100克产生大约60千卡左右的热量。苹果中营养成分可溶性大，容易被人体吸收，故有“活水”之称。
        它有利于溶解硫元素，使皮肤润滑柔嫩。
        """,
        """
        在生活当中，香蕉是一种很常见的水果，一年四季都能吃得着，因其肉质香甜软糯，且营养价值高，所以深受老百姓的喜爱。
        那么香蕉有什么具体的功效，你了解吗？
        """
    ]
 
    query = "苹果是我喜欢的水果"
 
    doc_vector, word_dic = build_doc_tf_vector(doc_list)
 
    query_vector = build_query_tf_vector(query, word_dic)
 
    print(query_vector[0:35])
 
    for i, doc in enumerate(doc_vector):
        si = cos_similarity(doc, query_vector)
        print("doc", i, ":", si)

我们检索排序的结果如下：

文档D2是相似度最高的，符合我们的预期。这里我们用最简单的方法，实现了一个搜索打分排序的样例，虽然它并没有实用价值，但是演示出了搜索引擎的工作原理。

四、超越余弦

前面通过简单的3个案例，演示了余弦定理的用法，但是没有完全释放出余弦定理的洪荒之力。接下来展示一下工业级的系统中是如何使用余弦定理的。这里选取了开源搜索引擎数据库ES的内核Lucene作为研究对象。研究的问题是：Lucene是如何使用余弦相似度进行文档相似度打分？

当然，对于Lucene的实现，它有另一个名字：向量空间模型。即许多向量化的文档集合形成了向量空间。我们首先直接看公式：

很明显，实际公式跟理论公式长相差异很大。那么我们怎么理解呢？换言之，我们怎么基于理论公式推导出实际公式呢？

首先需要注意的是，在Lucene中，文档向量的特征不再是我们案例3中展示的，用的词频，而是TF-IDF。关于TF-IDF相关的知识，比较简单，主要的思路在于：

如何量化一个词在文档中的关键程度？  TF-IDF给出的答案是综合考虑词频(词在当前文档中出现的次数)以及逆文档频率(词出现的文档个数)两个因素。

1. 词在当前文档中出现次数(TF)越多，  词越重要
2. 词在其他文档出现的次数(IDF)越少，词越独特

感兴趣的话，可以自行参考其他资料，这里不展开说明。

回到我们的核心问题: 我们怎么基于理论公式推导出实际公式呢？

四步走就可以了，如下图：

第一步：计算向量乘法

向量乘法就是套用数学公式了。这里需要注意的是，这里有两个简化的思想：

1. 查询语句中不存在的词tf(t,q)=0
2. 查询语句基本没有重复的词tf(t,q)=1

所以我们比较简单完成了第一步推导：

第二步: 计算查询语句向量长度|V(q)|

计算向量长度，其实就是勾股定理的使用了。只不过这里是多维空间的勾股定理。

这里取名queryNorm, 表示这个操作是对向量的归一化。这个其实是当向量乘以queryNorm后，就变成了单位向量。单位向量的长度为1，所以称为归一化，也就是取名norm。理解了这一层，看lucene源码的时候，就比较容易理解了。这正如琅琊榜的台词一样：问题出自朝堂，答案却在江湖。这里是问题出自Lucene源码，答案却在数学。

第三步：计算文档向量长度|V(d)|

这里其实是不能沿用第二步的做法的。前面已经提到，向量有两大要素：方向和长度。余弦公式只考虑了方向因素。这样在实际应用中，余弦相似度就是向量长度无关的了。

这在搜索引擎中，如果查询语句命中了长文档和短文档，按照余弦公式TF-IDF特征，偏向于对短小的文档打较高的分数。对长文档不公平，所以需要优化一下。

这里的优化思路就是采用文档词个数累积，从而降低长文档和短文档之间的差距。当然这里的业务诉求可能比较多样，所以在源码实现的时候，开放了接口允许用户自定义。借以提升灵活度。

第四步：混合用户权重和打分因子

所谓用户权重，就是指用户指定查询词的权重。例如典型地竞价排名就是人为提升某些查询词的权重。所谓打分因子，即如果一个文档中相比其它的文档出现了更多的查询关键词，那么其值越大。综合考虑了多词查询的场景。经过4步，我们再看推导出来的公式和实际公式，发现相似度非常高。

推导公式和官方公式基本就一致了。

五、总结

本文简单介绍了余弦相似度的数学背景。从埃及金字塔的建设问题出发，引出了勾股定理，进而引出了余弦定理。并基于向量推导出来了余弦公式。

接下来通过三个业务场景的例子，介绍余弦公式的应用，即数学模型如何落地到业务场景中。这三个简单的例子代码不过百行，能够帮助读者更好地理解余弦相似度。

最后介绍了一个工业级的样例。基于Lucene构建的ES是当前最火热的搜索引擎解决方案。学习余弦公式在Lucene中落地，有助于理解业界的真实玩法。进一步提升对余弦公式的理解。

六、参考文献

1. 书籍《数学之美》 作者：吴军
2. 图像基础7 图像分类——余弦相似度

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作者：Shuai Guangying