我所知道的十大常用算法之迪杰斯特拉算法（最短路径）

前言需求

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今天我们学习的是迪杰斯特拉算法（最短路径），我们还是从一个场景里引入看看

战争时期，胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)

有一名邮差需要你的帮忙:从G点出发，分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄

问：如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?

1.各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里

2.如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

一、什么是迪杰斯特拉算法？

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法

用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

让我们回顾一下广度优先搜索的思想，可以看往期文章：图（广度优先与深度优先）

图的广度优先搜索(Broad First Search)

图的深度优先搜索(Depth First Search)

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi...}

v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di...}

Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)

步骤如下：

• 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
• 更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
• 重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

二、通过示例来认识算法

迪杰斯特拉算法图解思路

A、B、C、D、E、F、G 这些顶点，我们使用数组记录他们是否访问过

根据示意图，画出他们的邻接矩阵

按照要求，假如从G顶点出发，如图所示能连接的顶点有：A、B、E、F

这时我们，使用数组记录A、B、E、F的前驱顶点指向G顶点下标

接下来我们使用数组记录，同时判断A、B、E、F与G顶点的连接权值

那么这个时候，我们以最小权值：A，作为新访问节点，继续遍历操作

迪杰斯特拉算法思路

1.使用邻接矩阵来表示图所之间连接关系与权重值

//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
int[][] weight = new int[][]{
 {0,5,7,0,0,0,0},
 {5,0,0,9,0,0,3},
 {7,0,0,0,8,0,0},
 {0,9,0,0,0,4,0},
 {0,0,8,0,0,5,4},
 {0,0,0,4,5,0,6},
 {2,3,0,0,4,6,0}
}; 

2.需要一个存放顶点的char数组

//char[] 数组存放顶点个数
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

3.创建对象存放节点数据、邻接矩阵、输出图的方法

class Graph{

    char[] data;//存放结点数据
    int[][] weight;//存放边

    public Graph(char[] data, int[][] weight) {
        this.data = data;
        this.weight = weight;
    }
    //输出图
    public void showGraph(){
        for (int[] link:weight){
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
}

接下来我们使用demo 完成图的创建与输出

public static void main(String[] args) {

    //char[] 数组存放顶点个数
    char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

    //使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
    int[][] weight = new int[][]{
            {0,5,7,0,0,0,0},
            {5,0,0,9,0,0,3},
            {7,0,0,0,8,0,0},
            {0,9,0,0,0,4,0},
            {0,0,8,0,0,5,4},
            {0,0,0,4,5,0,6},
            {2,3,0,0,4,6,0}
    };
    Graph graph = new Graph(data , weight);
    graph.showGraph();
}

4.接下来我们根据之前的思路，创建对应的集合思路

class VisitedVertex{

    public int[] already_arr;//记录顶点是否访问过的集合

    public int[] pre_visited;//每个下标对应的值，作为前一个顶点的下标

    public int[] dis;//记录顶点到其他其他顶点的距离

    /**
     *
     * @param length 记录顶点的个数
     * @param index 出发顶点的下标，比如说G订单下标为：6
     */
    public VisitedVertex(int length,int index) {
        this.already_arr = new int[length];
        this.pre_visited = new int[length];
        this.dis = new int[length];
    }
}

根据我们的图解思路，有以下的事情需要做：

1.出发顶点与其他顶点的距离，由于不知道，所以先初始化为最大值
2.出发顶点需要初始化为：已访问
3.出发顶点与自己的距离初始化为：0

class VisitedVertex{

    //省略其他关键代码...
    /**
     *
     * @param length 记录顶点的个数
     * @param index 出发顶点的下标，比如说G订单下标为：6
     */
    public VisitedVertex(int length,int index) {
        this.already_arr = new int[length];
        this.pre_visited = new int[length];
        this.dis = new int[length];
        //出发顶点需要初始化为：已访问
        this.already_arr[index] =1;
        //暂时先初始化与其他顶点的距离为最大值
        Arrays.fill(dis,6535);
        //出发顶点与自己的距离初始化为：0
        this.dis[index] = 0;
    }
}

当我们知道某个顶点是否被访问过？怎么办？

这时添加辅助方法：通过传入顶点下标，得到是否已被访问

class VisitedVertex{
    
    //省略其他关键代码...
    /**
     * 功能：判断index顶点是否被访问过
     * @param index
     * @return 访问过返回true 否则false
     */
    public boolean in(int index){
        return already_arr[index] == 1;
    }
}

前面我们分析G顶点时：使用数组记录，并将A、B、E、F的前驱顶点指向G顶点下标

这时我们添加辅助方法：更新某顶点的前驱节点指向index顶点

class VisitedVertex{
    
    //省略其他关键代码...
    /**
     * 更新某顶点的前驱节点指向index下标的顶点
     * @param pre 某节点的下标
     * @param index 指向顶点的下标
     */
    public void updatePre(int pre,int index){
        pre_visited[pre] = index;
    }
}

当我们需要知道某顶点i，它与index顶点之间的距离是多少，怎么办？

同时添加辅助方法：通过传入顶点下标，返回与index的距离权值

class VisitedVertex{
    
    //省略其他关键代码...
    /**
     * 功能：返回顶点i与index 顶点的距离
     * @param i
     * @return
     */
    public int getDis(int i){
        return dis[i];
    }
}

前面我们分析G顶点时：使用数组记录，同时判断A、B、E、F与G顶点的连接权值

这时我们添加辅助方法：修改i顶点与index节点的连接权值

示例：更新A顶点与G顶点的连接权值，dis[A顶点下标] = 连接权值

class VisitedVertex{
    
    //省略其他关键代码...
    /**
     * 功能：重新赋值i顶点与index节点的连接权值
     * @param i i顶点的下标
     * @param len 与index节点的连接权值
     */
    public void updateDis(int i,int len){
        dis[i] = len;
    }
}

这时我们添加辅助方法：更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离

示例：更新A、B、E、F顶点与G顶点的连接权值，dis[顶点下标] = 连接权值

那么我们就需要获取到index顶点的所有连接节点

class Graph{
    //省略其他关键代码...
    /**
     * 功能：更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离
     * @param index 
     */
    private void update(int index){
        int len = 0;
        //获取到index顶点的所有连接顶点
        int[] matrix = weight[index];
        for (int j = 0; j<matrix.length;j++){
            len = weight[index][j];
            if(!vv.in(j) && len <vv.getDis(j) ){
                vv.updatePre(j,index);
                vv.updateDis(j,len);
            }
        }
    }
}

这段代码什么意思呢？我以之前的图解思路G顶点来分析一波看看

即index = G顶点下标，我们从获取到G顶点的的所有连接节点开始

此时，我们将A、B、E、F 连接节点for循环，遍历下标获取

此时连接顶点A：对应的下标即为0，那么对应的代码是weight6

此时连接顶点A与G顶点的连接权值就是：2，其他请看下图

前面提到：过出发顶点与其他顶点的距离，由于不知道，所以先初始化为最大值

所以只要顶点A没访问过，并且与G顶点连接权值小于最大值

那么我们就以下两件事情：

1.调用方法：更新某顶点的前驱节点指向index顶点，A顶点前驱节点指向G顶点

2.调用方法：修改i顶点与index节点的连接权值，原之前的最大值改为：2

但是刚刚的代码有一个问题：如果是G顶点到C顶点是多少呢？

那么我们的路径就是G-C 为9，原因是 A + C ，所以我们修改代码

class Graph{
    //省略其他关键代码...
    /**
     * 功能：更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离
     * @param index
     */
    private void update(int index){
        int len = 0;
        //获取到index顶点的所有连接顶点
        int[] matrix = weight[index];
        for (int j = 0; j<matrix.length;j++){
            len = vv.getDis(j) + weight[index][j];
            if(!vv.in(j) && len <vv.getDis(j) ){
                vv.updatePre(j,index);
                vv.updateDis(j,len);
            }
        }
    }
}

当G的所有A、B、E、F 连接节点，都重新赋值与G顶点的连接权值后

到这一步，我们还需要分析，选取最小权值作为新访问节点，继续遍历操作

这时我们添加辅助方法：继续选择并返回新的访问顶点

class VisitedVertex{
    
    //省略其他关键代码...

    /**
     * 功能：继续选择并返回新的访问顶点
     * @return
     */
    public int updateArr(){
        int min = 6535;
        int index = 0;
        for (int i = 0;i < already_arr.length;i++){
            if(already_arr[i] == 0 && dis[i]<min){
                min = dis[i];
                index = i;
            }
        }
        //同时成为新的访问顶点要标注已访问过
        already_arr[index] = 1;
        return index;
    }
}

三、迪杰斯特拉算法编写

public void dsj(int index){

    //传入顶点的个数,与出发顶点的下标
    vv = new VisitedVertex(data.length,index);
    //更新遍历index顶点的所有连接节点与index的权值距离
    update(index);
    for (int j = 1;j < data.length ; j++){
        //选择index顶点并返回新的访问顶点
        index = vv.updateArr();
        update(index);
    }
}

输出方法：仅供参考（提示）

public void showDis(){
    char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
    int count = 0;
    for (int i : dis) {
        if (i != 65535) {
            System.out.print(data[count] + "("+i+") ");
        } else {
            System.out.println("N ");
        }
        count++;
    }
    System.out.println();
}

我们之前的问题是：计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?

接下来让我们使用demo 测试看看

public static void main(String[] args) {

    //char[] 数组存放顶点个数
    char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

    int maxValue = 6535;

    //使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
    int[][] weight = new int[][]{
            {maxValue,5,7,maxValue,maxValue,maxValue,maxValue},
            {5,maxValue,maxValue,9,maxValue,maxValue,3},
            {7,maxValue,maxValue,maxValue,8,maxValue,maxValue},
            {maxValue,9,maxValue,maxValue,maxValue,4,maxValue},
            {maxValue,maxValue,8,maxValue,maxValue,5,4},
            {maxValue,maxValue,maxValue,4,5,maxValue,6},
            {2,3,maxValue,maxValue,4,6,maxValue}
    };
    Graph graph = new Graph(data ,weight);
    //graph.showGraph();
    graph.dsj(6);
    graph.show();
}

运行结果如下：
A(2) B(3) C(9) D(10) E(4) F(6) G(0)

参考资料

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• 尚硅谷：数据结构与算法（韩顺平老师）：迪杰斯特拉算法