算法(3)-位运算加法

位运算加法

leetcode 面试题 17.01. 不用加号的加法

1. 运算符号

按位与	按位或	按位异或	按位取反	按位左移	按位右移
a&b	a\	b	a^b	~a	a<<b	a>>b

2. 运算说明

2.1 与运算 &

and运算通常用于二进制的取位操作，例如一个数 & 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

00101  
11100  
00101&11100  // 00100

2.2 或运算 |

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数| 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

相同位只要一个为1即为1。

00101  
11100  
00101|11100  // 11101

2.3 异或运算 ^

异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.
异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a ^ b) ^ b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

相同位不同则为1，相同则为0。

00101
11100
00101^11100  // 11001

2.4 按位取反 ~

取反的符号是~,按位取反运算, 就是取数值的反码. 具体例子如下：

let num1 = 3;    // 我的幸运数字是3
let num2 = ~(num1);
console.log(num2)  //  "-4"
let num3 = -3;  
let num4 = ~(num3);
console.log(num4)  //  "2"
console.log(~(0))  //  "-1"

二进制负值的计算是除去符号位的数值取反再加1.
具体的计算请先熟悉原码、补码、反码之间的关系。

2.5按位左移 <<

取反的符号是<<，这个操作符会将数值的所有位向左移动指定的位数。在左移后，原数值右侧空出的位由0填补。

左移一位其实就相当于将原数值乘以2，左移不会影响操作数的符号位。

let a = 100;
a<<2 // 400

2.6按位右移 >>

取反的符号是>>，这个操作符会将数值向右移动，但保留符号位。在移位过程中，空缺位出现在原数值的左侧，符号位的右侧，用符号位的值来填充空位。

右移一位相当于原数除2后向下取整。

let a = 100;
a>>2 // 25

let b = 101;
b>>2 // 25

3. 位运算实现加法

用位运算实现加法也就是计算机用二进制进行运算。首先我们来实现用1位数的加法来进行，不考虑进位的基础上。

// 有这四种情况
1 + 1 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
0 + 0 = 0

// 其实可以用位运算（^）来代替
1 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0

这样我们就完成了一位数的运算，那是不是也可以这样进行2位数的运算呢？这是不可以的,问题在于怎么去进位。

0 + 0 = 0
1 + 0 = 0
0 + 1 = 0
1 + 1 = 1

//换个角度看就是这样
0 & 0 = 不进位
1 & 0 = 不进位
0 & 1 = 不进位
1 & 1 = 进位

正好，在位运算中，我们用“<<”表示向左移动一位，也就是“进位”。那么我们就可以得到如下的表达式

//进位可以用如下表示：
(x&y)<<1

到这里，基本上拥有了这样两个表达式

x^y //执行加法
(x&y)<<1 //进位操作

来做个2位数的加法，在不考虑进位的情况下

11+01 = 100  // 本来的算法
 
// 用推算的表达式计算
11 ^ 01 = 10
 
(11 & 01) << 1 = 10
 
//到这里 我们用普通的加法去运算这两个数的时候就可以得到 10 + 10 = 100
//但是我们不需要加法，所以要想别的方法，如果让两个数再按刚才的算法计算一次呢
 
10 ^ 10 = 00
 
(10 & 10) << 1 = 100

到这里基本上就得出结论了，其实后面的那个 “00” 已经不用再去计算了，因为第一个表达式就已经算出了结果。
通过推理可以得出三位数的加法只需重复的计算三次得到第一个表达式的值就是计算出来的结果。

js代码
/**
 * @param {number} a
 * @param {number} b
 * @return {number}
 */
var getSum = function(a, b) {
    // return a+b;
    let ab_yu = a&b;
    let ab_yihuo = a^b;
    
    while(ab_yu){
        let e = ab_yihuo;
        let f = ab_yu<<1;
        ab_yu = e&f;
        ab_yihuo = e^f;
    }
    
    return ab_yihuo;
};

4. 位运算加法结论

结论1：设a，b为两个二进制数，则a+b = a^b + (a&b)<<1。
证明：a^b是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为1时，才有进位，因此 (a&b)<<1是进位产生的值，称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。

结论2：使用结论1可以实现只用位运算进行加法运算。
证明：利用定理1中的等式不停对自身进行迭代。每迭代一次，进位补偿右边就多一位0，因此最多需要加数二进制位长度次迭代，进位补偿就变为0，这时运算结束。