算法(4)-快速幂

算法笔记(1)：快速幂

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以以O(lgn)的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见，而且后续很多算法也都会用到快速幂。

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让我们先来思考一个问题：7的10次方，怎样算比较快？

方法1：最朴素的想法，7x7=49，49x7=343，... 一步一步算，共进行了9次乘法。

这样算无疑太慢了，尤其对计算机的CPU而言，每次运算只乘上一个个位数，无疑太屈才了。这时我们想到，也许可以拆分问题。

方法2：先算7的5次方，即7x7x7x7x7，再算它的平方，共进行了5次乘法。

但这并不是最优解，因为对于“7的5次方”，我们仍然可以拆分问题。

方法3：先算7x7得49，则7的5次方为49x49x7，再算它的平方，共进行了4次乘法。

模仿这样的过程，我们得到一个在O(lgn)时间内计算出幂的算法，也就是快速幂。

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递归快速幂

刚刚我们用到的，无非是一个二分的思路。我们很自然地可以得到一个递归方程：

$$ a^n = \begin{cases} a^{n-1}·a,\quad if\ n\ is\ odd \\ a^{\frac{n}{2}}·a^{\frac{n}{2}},\quad if\ n\ is\ even\ but\ not\ 0 \\ 1,\quad if\ n\ =\ 0 \\ \end{cases} $$

计算a的n次方，如果n是偶数（不为0），那么就先计算a的n/2次方，然后平方；如果n是奇数，那么就先计算a的n-1次方，再乘上a；递归出口是a的0次方为1。

递归快速幂的思路非常自然，代码也很简单（直接把递归方程翻译成代码即可）：

    //递归快速幂
    int qpow(int a, int n) {
        if (n == 0)
            return 1;
        else if ((n & 1) == 1)
            return qpow(a, n - 1) * a;
        else {
            int temp = qpow(a, n / 2);
            return temp * temp;
        }
    }

注意，这个temp变量是必要的，因为如果不把a^(n/2)记录下来，直接写成qpow(a, n /2)*qpow(a, n /2)，那会计算两次a^(n/2)，整个算法就退化为了 O(n)。

在实际问题中，题目常常会要求对一个大素数取模，这是因为计算结果可能会非常巨大，但是在这里考察高精度又没有必要。这时我们的快速幂也应当进行取模，此时应当注意，原则是步步取模。

    //递归快速幂（对大素数取模）
    int qpow(int a, int n, int mod) {
        if (n == 0)
            return 1;
        else if ((n & 1) == 1)
            return qpow(a, n - 1, mod) * a % mod;
        else {
            int temp = qpow(a, n / 2, mod) % mod;
            return temp * temp % mod;
        }
    }

大家知道，递归虽然简洁，但会产生额外的空间开销。我们可以把递归改写为循环，来避免对栈空间的大量占用，也就是非递归快速幂。

非递归快速幂

我们先看代码，再来仔细推敲这个过程：

//非递归快速幂
int qpow(int a, int n) {
    int ans = 1;
    while (n > 0) {
        //如果n的当前末位为1
        if ((n & 1) == 1) {
            //ans乘上当前的a
            ans *= a;
        }
        //a自乘
        a *= a;
        //n往右移一位
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

最初ans为1，然后我们一位一位算：

1010的最后一位是0，所以 a^1 这一位不要。然后1010变为101，a变为 a^2。

101的最后一位是1，所以 a^2 这一位是需要的，乘入ans。101变为10，a再自乘。

10的最后一位是0，跳过，右移，自乘。

然后1的最后一位是1，ans再乘上 a^8。循环结束，返回结果。

这里的位运算符，>>是右移，表示把二进制数往右移一位，相当于/2；&是按位与，&1可以理解为取出二进制数的最后一位，相当于%2==1。这么一等价，是不是看出了递归和非递归的快速幂的关系了？虽然非递归快速幂因为牵扯到二进制理解起来稍微复杂一点，但基本思路其实和递归快速幂没有太大的出入。