【动态规划/背包问题】多重背包の单调队列优化

宫水三叶

前言

今天是我们讲解「动态规划专题」中的 「背包问题」的第十篇。

我们继续学习「多重背包の优化篇」。

今天我们将学习「多重背包」的另一种优化方式:单调队列优化。

第一种优化方式在:多重背包の二进制优化

另外,我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解(每隔几天更新一篇,确保大家消化)。

你也先可以尝试做做,也欢迎你向我留言补充,你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

回顾

在最开始讲解 多重背包 时,我们就提到了「多重背包」的一维空间优化,无法优化时间复杂度。

将「多重背包」简单拆分成「01 背包」也同样无法减少状态数量,同时还会增加「扁平化」的运算成本。

这导致了朴素的「多重背包」解决方案复杂度是 的,只能解决数量级为 的问题。

上一节 中,我们结合「二进制思想」,将原本总数量为 的物品,等价拆分成了总数量为 的物品。

使得时间复杂度从 下降到了 ,所能解决的问题数据范围也提升了一个数量级。

二进制优化的本质,是对「物品」做分类,使得总数量为 的物品能够用更小的 个数所组合表示出来。

而单调队列优化,某种程度上也是利用「分类」实现优化。只不过不再是针对「物品」做分类,而是针对「状态」做分类。

题目描述

有 种物品和一个容量为 的背包,每种物品「数量有限」

第 件物品的体积是 ,价值是 ,数量为 。

问选择哪些物品,每件物品选择多少件,可使得总价值最大。

其实就是在 0-1 背包问题的基础上,增加了每件物品可以选择「有限次数」的特点(在容量允许的情况下)。

示例 1:

输入: N = 2, C = 5, v = [1,2], w = [1,2], s = [2,1]   

输出: 4

解释: 选两件物品 1,再选一件物品 2,可使价值最大。

单调队列优化

首先,我们还是使用一维空间优化的定义: 代表容量不超过 时的最大价值。

当遍历完所有的物品后, 就是最优解。

在朴素的多重背包解决方案中,当我们在处理某一个物品从 到 的状态时,每次都是通过遍历当前容量 能够装多少件该物品,然后从所有遍历结果中取最优。

但事实上,转移只会发生在「对当前物品体积取余相同」的状态之间。

举个 🌰,假设当前我们处理到的物品体积和价值均为 ,数量为 ,而我们背包容量为 。

那么我们转移 到 时,其实存在如下规律:

  • 只能由 、、 转移而来
  • 只能由 、、 转移而来

    ...

  • 只能由 、 转移而来
  • 只能由 、 转移而来
  • 只能由 转移而来
  • 只能由 转移而来

即某个状态 只能由 相同( 为当前物品体积, 为当前背包容量),并且比 小,数量不超过「物品个数」的状态值所更新。

因此这其实是一个「滑动窗口求最值」问题。

如果我们能够在转移 时,以 或者均摊 的复杂度从「能够参与转移的状态」中找到最大值,我们就能省掉「朴素多重背包」解决方案中最内层的“决策”循环,从而将整体复杂度降低到 。

具体的,我们定义一个 数组,用来记录上一次物品的转移结果;定义一个 数组来充当队列,队列中存放本次转移的结果。

由于我们希望在 复杂度内取得「能够参与转移的状态」中的最大值,自然期望能够在对队列头部或者尾部直接取得目标值来更新 。

我们发现如果希望始终从队头取值更新的话,需要维持「队列元素单调」和「特定的窗口大小」。

代码:

class Solution {
    public int maxValue(int N, int C, int[] s, int[] v, int[] w) {
        int[] dp = new int[C + 1];
        int[] g = new int[C + 1]; // 辅助队列,记录的是上一次的结果
        int[] q = new int[C + 1]; // 主队列,记录的是本次的结果

        // 枚举物品
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int vi = v[i];
            int wi = w[i];
            int si = s[i];

            // 将上次算的结果存入辅助数组中
            g = dp.clone();

            // 枚举余数
            for (int j = 0; j < vi; j++) {
                // 初始化队列,head 和 tail 分别指向队列头部和尾部
                int head = 0, tail = -1;
                // 枚举同一余数情况下,有多少种方案。
                // 例如余数为 1 的情况下有:1、vi + 1、2 * vi + 1、3 * vi + 1 ...
                for (int k = j; k <= C; k+=vi) {
                    dp[k] = g[k];
                    // 将不在窗口范围内的值弹出
                    if (head <= tail && q[head] < k - si * vi) head++;
                    // 如果队列中存在元素,直接使用队头来更新
                    if (head <= tail) dp[k] = Math.max(dp[k], g[q[head]] + (k - q[head]) / vi * wi);
                    // 当前值比对尾值更优,队尾元素没有存在必要,队尾出队
                    while (head <= tail && g[q[tail]] - (q[tail] - j) / vi * wi <= g[k] - (k - j) / vi * wi) tail--;
                    // 将新下标入队 
                    q[++tail] = k;
                }
            }
        }
        return dp[C];
    }
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

总结

今天我们学习了「多重背包の单调队列优化」。

与对「物品」做拆分的「二进制优化」不同,「单调队列优化」是对「状态」做拆分操作。

利用某个状态必然是由余数相同的特定状态值转移而来进行优化。

单调队列优化是三种传统背包问题中最难的部分。

不过这里所谓的难,也主要是针对当年楼教主提出这个优化思路的那个年代而言。

这些年,这种根据“取余”对状态做划分,然后转换为「滑动窗口」问题,配合某种数据结构(单调队列/哈希表)来实现优化的方式,早就出现在各种题目中了。

例如 30. 串联所有单词的子串、1787. 使所有区间的异或结果为零 ...

背包问题(目录)

  1. 01背包 : 背包问题 第一讲
  2. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲
  3. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲
  4. 完全背包 : 背包问题 第四讲
  5. 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲
  6. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲
  7. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲
  8. 多重背包 : 背包问题 第八讲
  9. 多重背包(优化篇)
  10. 【上】多重背包(优化篇): 背包问题 第九讲
  11. 【下】多重背包(优化篇): 本篇
  12. 混合背包
  13. 【练习】混合背包
  14. 分组背包
  15. 【练习】分组背包
  16. 多维背包
  17. 【练习】多维背包
  18. 树形背包
  19. 【练习篇】树形背包
  20. 背包求方案数
  21. 【练习】背包求方案数
  22. 背包求具体方案
  23. 【练习】背包求具体方案
  24. 泛化背包
  25. 【练习】泛化背包

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.* 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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