【动态规划/背包问题】背包问题第一阶段最终章:混合背包问题

宫水三叶

前言

今天是我们讲解 动态规划专题 中的「背包问题」的第十一篇。

今天将会学习「混合背包」问题,同时也是我们「背包问题」的第一阶段的最后一节。

今天首先会和大家回顾之前学过的三种背包问题。

然后通过一道「混合背包」问题,来将我们之前学的几种背包问题串联起来。

希望通过本篇内容,大家会对背包问题有更清晰的认识。

另外,我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解(每隔几天更新一篇,确保大家消化)。

你也先可以尝试做做,也欢迎你向我留言补充,你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

回顾三种传统背包问题

前面我们已经学完了三种传统背包问题了。

这里再回顾一下三种传统背包:

  • 01 背包:强调每件物品「只能选择一次」。对其进行「一维空间优化」并不能降低时间复杂度,进行「一维空间优化」时要求「容量维度“从大到小”进行遍历」
  • 完全背包:强调每件物品「可以选择无限次」。对其进行「一维空间优化」具有数学意义,可以将时间复杂度从 降低到 ,进行「一维空间优化」时要求「容量维度“从小到大”进行遍历」
  • 多重背包:强调每件物品「只能选择有限次」。对其无论是进行「一维空间优化」还是「普通扁平化」都不能降低时间复杂度,要应用额外的优化手段:二进制优化单调队列优化

三种背包问题的「难易程度」「递增」,但「重要程度」则是「递减」 的。

虽然「多重背包」的 二进制优化单调队列优化 都比较 trick。

但其实「多重背包」并没有这么常见,以至于在 LeetCode 上我都没找到与「多重背包」相关的题目。

同时三种背包问题都有「不超过」「恰好」两种状态定义。

这两种状态定义只在「初始化」上有区别。

至于该如何初始化则要抓住 什么样的状态是合法的 :

  • 对于「不超过」的状态定义: 均为合法值 。

    代表不考虑任何物品,背包容量「不超过 」的所取得的最大价值为 。

  • 对于「恰好」的状态定义: 中只有 为合法值 ,其他值均为“无效值”。

    代表不考虑任何物品,只有背包容量「恰好为 」时所取得的最大价值为 ;其他容量「恰好为非 」是无法取得有效价值的(因为不考虑任何物品)。

总的来说,三种背包问题都很经典(本质上都是组合优化问题),以至于「背包问题」直接成为了一类的动态规划模型。

我的建议是三种背包都需要掌握。但如果实在要分侧重点的话,我更愿意你将大多数时间花在「01 背包」和「完全背包」上。

混合背包

给定物品数量 和背包容量 。第 件物品的体积是 ,价值是 ,可用数量为 :

  • 当 为 代表是该物品只能用一次
  • 当 为 代表该物品可以使用无限次
  • 当 为任意正整数则代表可用 次

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

基本分析

混合背包其实就是综合了「01 背包」、「完全背包」和「多重背包」三种传统背包问题。

我们知道在一维空间优化方式中「01 背包」将当前容量 按照“从大到小”进行遍历,而「完全背包」则是将当前容量 按照“从小到大”进行遍历。

同时「多重背包」可以通过「二进制优化」彻底转移成「01 背包」。

所以我们只需要根据第 个物品是「01 背包」物品还是「完全背包」物品,选择不同的遍历顺序即可。

代码:

class Solution {
    public int maxValue(int N, int C, int[] w, int[] v, int[] s) {
        // 构造出物品的「价值」和「体积」列表
        List<Integer> worth = new ArrayList<>();
        List<Integer> volume = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            int type = s[i];
            
            // 多重背包:应用「二进制优化」转换为 0-1 背包问题
            if (type > 0) { 
                for (int k = 1; k <= type; k *= 2) {
                    type -= k;
                    worth.add(w[i] * k);
                    volume.add(v[i] * k);
                }
                if (type > 0) {
                    worth.add(w[i] * type);
                    volume.add(v[i] * type);
                }
                
            // 01 背包:直接添加
            } else if (type == -1) {
                worth.add(w[i]);
                volume.add(v[i]);
                
            // 完全背包:对 worth 做翻转进行标记
            } else {
                worth.add(-w[i]);
                volume.add(v[i]);
            }
        }
        
        // 使用「一维空间优化」方式求解三种背包问题
        int[] dp = new int[C + 1];
        for (int i = 0; i < worth.size(); i++) {
            int wor = worth.get(i);
            int vol = volume.get(i);
            
            // 完全背包:容量「从小到大」进行遍历
            if (wor < 0) { 
                for (int j = vol; j <= C; j++) {
                    // 同时记得将 worth 重新翻转为正整数
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - vol] - wor); 
                }
                
            // 01 背包:包括「原本的 01 背包」和「经过二进制优化的完全背包」
            // 容量「从大到小」进行遍历
            } else { 
                for (int j = C; j >= vol; j--) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - vol] + wor);
                }
            }
        }
        return dp[C];
    }
}

就这样我们解决了这个混合背包问题。

先将一个「多重背包」问题通过「二进制优化」的思路,转化为「01 背包」问题。

然后根据物品是属于「01 背包」还是「完全背包」决定容量 是"从大到小"还是"从小到大"进行推算。

换句话说就是根据物品的类型不同,选择不同的转移方式。

总结

今天我们在学习「混合背包」之前先梳理了前面学的三种传统背包问题。

三种传统背包的主要区别在于「物品可被选择的次数」,其中「01 背包」的一维空间的优化方式是其余背包问题的基础。

对于「完全背包」和「多重背包」而言,一个可以选择「任意个数的物品」,另外一个则存在「选择物品的上界」。

这导致这两种背包问题在转移某个 时,其实本质是分别在求「整个前缀的最值」和「滑动窗口的最值」。

这就意味着「完全背包」可以直接通过一维空间优化降低时间复杂度;而「多重背包」则要通过「二进制优化」(减少总的物品数量)或者「单调队列优化」(实现直接求得滑动窗口最值)来降低时间复杂度。

最后

到这一节结束,我们就已经完成「背包问题」的第一阶段的学习了 🎉 🎉

接下来的「背包问题」更多的偏向于「多维」、「分组」、「有依赖」、「求方案数/具体方案」此类问题。

这类问题往往才是真正用来考察「背包思维」的题目,第一阶段的学习更多的是模板题,打基础用的。

继续加油吧 ~

另外,最近一段时间的公众号的更新频率确实下降了

不少同学通过各种渠道(LeetCode 评论区、知乎、公众号后台)催更 ...

但是我真的没有偷懒啦 🤣

这就来跟大家分享最近在忙些什么:

  1. 首先肯定是忙工作啦
  2. 然后是正在将内容整理成排版和顺序都比较合理的 pdf ,后面会公开出来给大家下载
  3. 最后一个则是彩蛋预告:最近在和 LeetCode 策划合作出两本 LeetBook  🎉 🎉 目前已经接近尾声,到时仍然会以「免费 & 非会员」的形式提供给大家 🤣 这样大家就能获得更好的学习体验啦 ~

敬请期待叭 ~

过了这一阵子后,公众号会恢复到「一周 3~4 篇」的更新频率滴 ~

背包问题(目录)

由于「背包问题」很多模板题在 LeetCode 上都没有模板题,同时公众号不能放外链,所以今晚建了一个背包仓库。

后面会给每篇文章配相应的原题地址,欢迎 mark ~

(持续更新)完整地址:https://github.com/SharingSou...

  1. 01背包 : 背包问题 第一讲
  2. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲
  3. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲
  4. 完全背包 : 背包问题 第四讲
  5. 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲
  6. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲
  7. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲
  8. 多重背包 : 背包问题 第八讲
  9. 多重背包(优化篇)
  10. 【上】多重背包(优化篇): 背包问题 第九讲
  11. 【下】多重背包(优化篇): 背包问题 第十讲
  12. 混合背包 : 本篇
  13. 【练习】混合背包
  14. 分组背包
  15. 【练习】分组背包
  16. 多维背包
  17. 【练习】多维背包
  18. 树形背包
  19. 【练习篇】树形背包
  20. 背包求方案数
  21. 【练习】背包求方案数
  22. 背包求具体方案
  23. 【练习】背包求具体方案
  24. 泛化背包
  25. 【练习】泛化背包
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