$$ S=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1} y_{i}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} x_{i}\left(y_{i+1}-y_{i-1}\right)\right| $$
鞋带公式（Shoelace Formula），也称为高斯面积公式。是由Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724-1788)在1769年，基于高斯(Carl Friedrich Gauss)和C.G.J. Jacobi. 的梯形公式提出的。此公式可以简单快速的得出平面上任意多边形的面积。因为利用多边形坐标进行交叉相乘，像是系鞋带，所以称之为鞋带公式。
由于计算简单，很适合计算面积时使用。
使用方式是选取多边形一个点做顶点，然后向一个方向顺序取坐标（必须是顺序的）。之后按照公式进行交叉相乘。计算中如果遇到坐标超出顶点个数范围时循环取数。
例子
三角形由公式可得固定方程（超出下标时循环取数）：
$$ S_\text{triangle}=\frac{1}{2}\left| x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right) + x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right) + x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right) \right| $$
代入三角形数据：\( A点：\left(0, 6 \right) \) 、\( B点：\left(1, 1 \right) \)、\( C点：\left(4, 1 \right) \)
三角形面积求得：
$$ \begin{align} S_\text{triangle} &= \frac{1}{2} \left| 0 \cdot \left(1-1\right) + 1 \cdot \left(1-6\right) + 4 \cdot \left(6-1\right) \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| -5 + 4 \times 5 \right| \\ &= 7.5 \end{align} $$
参考资料的链接里面还有举更复杂的图形例子。
代码
const shoelaceFormula = (vertices: Array<{ x: number; y: number }>) => {
const length = vertices.length;
let area: number;
area = vertices.reduce((sum, vertice, i, array) => {
const afterIndex = i + 1 >= length ? 0 : i + 1;
const bforeIndex = i - 1 < 0 ? length - 1 : i - 1;
return sum + vertice.x * (array[afterIndex].y - array[bforeIndex].y);
}, 0);
return Math.abs(area) / 2;
};参考资料
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