深度学习教程 | 神经网络优化算法

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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得，对应的课程视频可以在这里查看。

引言

在ShowMeAI前一篇文章 深度学习的实用层面 中我们对以下内容进行了介绍：

• Train / Dev / Test sets的切分和比例选择
• Bias和Variance的相关知识
• 防止过拟合的方法：L2正则化和Dropout
• 规范化输入以加快梯度下降速度和精度
• 梯度消失和梯度爆炸的原因及处理方法
• 梯度检查

本篇内容展开介绍深度神经网络中的一些优化算法，通过使用这些技巧和方法来提高神经网络的训练速度和精度。

1.Batch梯度下降法

Batch梯度下降法(批梯度下降法)是最常用的梯度下降形式，它是基于整个训练集的梯度下降算法，在更新参数时使用所有的样本来进行更新。

对整个训练集进行梯度下降法的时候，我们必须处理整个训练数据集，然后才能进行一步梯度下降，即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理，如果训练数据集很大的时候，处理速度就会比较慢。

但是如果每次处理训练数据的一部分，基于这个子集进行梯度下降法，算法迭代速度会更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-Batch，这个算法也就是我们说的Mini-Batch梯度下降法。

2.Mini-Batch梯度下降法

Mini-Batch梯度下降法(小批量梯度下降法)每次同时处理单个的Mini-Batch，其他与Batch梯度下降法一致。

使用Batch梯度下降法，对整个训练集的一次遍历只能做一个梯度下降；而使用Mini-Batch梯度下降法，对整个训练集的一次遍历(称为一个epoch)能做Mini-Batch个数个梯度下降。之后，可以一直遍历训练集，直到最后收敛到一个合适的精度。

Batch梯度下降法和Mini-Batch梯度下降法代价函数的变化趋势如上图所示：

• 使用Batch gradient descent，随着迭代次数增加，cost是不断减小的。
• 使用Mini-batch gradient descent，随着在不同的mini-batch上迭代训练，cost并不是单调下降，而是振荡下降的，最终也能得到较低的cost值。出现细微振荡的原因是不同的mini-batch之间是有差异的。例如可能第一个子集\( (X^{{1}},Y^{{1}})\)是好的子集，而第二个子集\( (X^{{2}},Y^{{2}})\)包含了一些噪声noise。出现细微振荡是正常的。

2.1 Batch大小及影响

我们在训练神经网络的时候，使用mini-batch gradient descent，经常要指定一个batch批次的样本数量。而不同的batch大小会影响训练的过程，其中有2个特例，mini-batch gradient descent会退化为不同的算法：

• Mini-Batch的大小为1，即是随机梯度下降法(stochastic gradient descent)，每个样本都是独立的Mini-Batch。
• Mini-Batch的大小为\( m\)(数据集大小)，即是Batch梯度下降法。

如上图，我们对比一下Batch gradient descent和Stachastic gradient descent的梯度下降曲线。

• 图中蓝色的线代表Batch gradient descent。Batch gradient descent会比较平稳地接近全局最小值，但是因为使用了所有m个样本，每次前进的速度有些慢。
• 图中紫色的线代表Stochastic gradient descent。Stochastic gradient descent每次前进速度很快，但是路线曲折，有较大的振荡，最终会在最小值附近来回波动，难以真正达到最小值处。而且在数值处理上就不能使用向量化的方法来提高运算速度。

(1) Batch梯度下降法（Batch gradient descent）

• 对所有 m 个训练样本执行一次梯度下降，每一次迭代时间较长，训练过程慢。
• 相对噪声低一些，幅度也大一些。
• 成本函数总是向减小的方向下降。

(2) 随机梯度下降法（Stochastic gradient descent）

• 对每一个训练样本执行一次梯度下降，训练速度快，但丢失了向量化带来的计算加速。
• 有很多噪声，减小学习率可以适当。
• 成本函数总体趋势向全局最小值靠近，但永远不会收敛，而是一直在最小值附近波动。

(3) Mini-Batch gradient descent

实际使用中，batch size不能设置得太大（会倾向于Batch gradient descent），也不能设置得太小（倾向于Stochastic gradient descent）。

选择一个1<size<m的合适的大小进行Mini-Batch梯度下降，可以实现快速学习，也应用了向量化带来的好处，且成本函数的下降处于前两者之间。

mini-batch gradient descent的梯度下降曲线如图绿色曲线所示，每次前进速度较快，且振荡较小，基本能接近全局最小值。

2.2 Batch大小的选择

吴恩达老师也给出了一些关于batch大小选择的经验：

• 训练样本量小（如\( m \le 2000\)），选择Batch梯度下降法。
• 训练样本量大，选择Mini-Batch梯度下降法。
• 与计算机的信息存储方式相适应，代码在Batch大小为2的幂次时运行要快一些，典型的大小为\( 2^6\)、\( 2^7\)、…、\( 2^9\)。
• Batch的大小要匹配CPU/GPU内存。

Batch的大小是重要的超参数，需要根据经验快速尝试，找到能够最有效地减少成本函数的值。

2.3 获得Mini-Batch的步骤

前面提到了batch大小的选择方法，当我们确定batch大小后，在应用mini-batch梯度下降算法时，可以通过以下方式获得1个Batch的数据：

• 将数据集打乱
• 按照既定的大小分割数据集

其中打乱数据集的代码：

# 获得样本数量
m = X.shape[1] 
# 对m个样本进行乱序
permutation = list(np.random.permutation(m))
# 取出洗牌之后的样本特征和标签
shuffled_X = X[:, permutation]
shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))

（上述python代码使用到numpy工具库，想了解更多的同学可以查看ShowMeAI的 图解数据分析 系列中的numpy教程，也可以通过ShowMeAI制作的 numpy速查手册 快速了解其使用方法）

代码解读：

np.random.permutation与np.random.shuffle有两处不同：

• 如果传给permutation一个矩阵，它会返回一个洗牌后的矩阵副本；而shuffle只是对一个矩阵进行洗牌，没有返回值。
• 如果传入一个整数，它会返回一个洗牌后的arange。

2.4 符号表示

在进一步讲解优化算法之前，我们来对数学标记做一个统一和说明：

• 我们使用小括号上标\( i\)表示训练集里的值，\( x^{(i)}\)是第\( i\)个训练样本。
• 我们使用中括号上标\( l\)表示神经网络的层数，\( z^{[l]}\)表示神经网络中第\( l\)层的\( z\)值。
• 我们使用上标\( t\)来代表不同的Batch数据，即\( X^{t}\)、\( Y^{t}\)。

3.指数加权平均

下面我们将介绍指数加权平均（Exponentially weighted averages）的概念。

举个例子，记录半年内伦敦市的气温变化，并在二维平面上绘制出来，如下图所示：

看上去，温度数据似乎有noise，而且抖动较大。如果我们希望看到半年内气温的整体变化趋势，可以通过「移动平均」（moving average）的方法来对每天气温进行平滑处理。

例如我们可以设\( V_0=0\)，当成第0天的气温值。

第一天的气温与第0天的气温有关：

$$ V_1=0.9V_0+0.1\theta_1 $$

第二天的气温与第一天的气温有关：

$$ \begin{aligned} V_2 &=0.9V_1+0.1\theta_2\\ &=0.9(0.9V_0+0.1\theta_1)+0.1\theta_2\\ &=0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2 \end{aligned} $$

第三天的气温与第二天的气温有关：

$$ \begin{aligned} V_3 &= 0.9V_2+0.1\theta_3\\ &= 0.9(0.9^2V_0+0.9\cdot0.1\theta_1+0.1\theta_2)+0.1\theta_3\\ &= 0.9^3V_0+0.9^2\cdot 0.1\theta_1+0.9\cdot 0.1\theta_2+0.1\theta_3 \end{aligned} $$

即第\( t\)天与第\( t-1\)天的气温迭代关系为：

经过「移动平均」（moving average）处理得到的气温如下图红色曲线所示：

这种滑动平均算法称为指数加权平均（exponentially weighted average）。根据前面的例子，我们可以看到它的推导公式一般形式为：\( V_t=\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t\)。

其中指数加权平均的天数由\( \beta\)值决定，近似表示为\( \frac{1}{1-\beta}\)。上面的例子中：

• 当\( \beta=0.9\)，则\( \frac{1}{1-\beta}=10\)，表示将前10天进行指数加权平均。
• 当\( \beta=0.98\)，则\( \frac{1}{1-\beta}=50\)，表示将前50天进行指数加权平均。

\( \beta\)值越大，则指数加权平均的天数越多，平均后的趋势线就越平缓，但是同时也会向右平移。上图中绿色曲线和橙色曲线分别表示了\( \beta=0.98\)和\( \beta=0.5\)时，指数加权平均的结果。

公式解释：

这里的\( \frac{1}{1-\beta}\)是怎么来的呢？就标准数学公式来说，指数加权平均算法跟之前所有天的数值都有关系。

但是指数是衰减的，一般认为衰减到\( \frac1e\)就可以忽略不计了。因此，根据之前的推导公式，我们只要证明\( \beta^{\frac{1}{1-\beta}}=\frac1e\)就好了。

令\( \frac{1}{1-\beta}=N\)，\( N>0\)，则\( \beta=1-\frac{1}{N}\)，\( \frac1N<1\)。即证明转化为 \( (1-\frac1N)^N=\frac1e\)

显然，当\( N>>0\)时，上述等式是近似成立的。这就简单解释了为什么指数加权平均的天数的计算公式为\( \frac{1}{1-\beta}\)。

综上，指数加权平均(Exponentially Weight Average)是一种常用的序列数据处理方式，计算公式为：

$$ S_t = \begin{cases} Y_1, &t = 1 \\ \beta S_{t-1} + (1-\beta)Y_t, &t > 1 \end{cases} $$

其中\( Y_t\)为\( t\)下的实际值，\( S_t\)为\( t\)下加权平均后的值，\( \beta\)为权重值。

指数加权平均数在统计学中被称为“指数加权移动平均值”。

3.1 理解指数平均加权

我们将指数加权平均公式的一般形式写下来：

$$ \begin{aligned} V_t &=\beta V_{t-1}+(1-\beta)\theta_t\\ & =(1-\beta)\theta_t+(1-\beta)\cdot\beta\cdot\theta_{t-1}+(1-\beta)\cdot \beta^2\cdot\theta_{t-2}+\cdots+(1-\beta)\cdot \beta^{t-1}\cdot \theta_1+\beta^t\cdot V_0 \end{aligned} $$

观察上述推导得到的计算公式，其中：

• \( \theta_t\),\( \theta_{t-1}\),\( \theta_{t-2}\),...,\( \theta_1\)是原始数据值。
• \( (1-\beta)\),\( (1-\beta)\beta\),\( (1-\beta)\beta^2\),...,\( (1-\beta)\beta^{t-1}\)是类似指数曲线，从右向左，呈指数下降的。

如果我们把每个时间点的\( \theta\)和衰减指数写成向量形式，则最终指数加权平均结果\( V_t\)相当于两者的点乘。将原始数据值与衰减指数点乘，相当于做了指数衰减，随距离越远衰减越厉害（注意到\( \beta\)小于1），有如下结论：

• 离得越近的数据点，影响越大，离得越远的数据点，影响越小。

当\( \beta = 0.9\)时，

$$v_{100} = 0.9v_{99} + 0.1 \theta_{100}$$

$$v_{99} = 0.9v_{98} + 0.1 \theta_{99}$$

$$v_{98} = 0.9v_{97} + 0.1 \theta_{98}$$

展开：

$$ v_{100} = 0.1 \theta_{100} + 0.1 * 0.9 \theta_{99} + 0.1 * {(0.9)}^2 \theta_{98} + \dots $$

其中，\( \theta_i\)指第\( i\)天的实际数据。所有\( \theta\)前面的系数(不包括0.1)相加起来为1或者接近于1，这些系数被称作偏差修正(Bias Correction)。

根据函数极限的一条定理：

$$ {\lim_{\beta\to 0}}(1 - \beta)^{\frac{1}{\beta}} = \frac{1}{e} \approx 0.368 $$

当\( \beta = 0.9\)时，可以当作把过去10天的气温指数加权平均作为当日的气温，因为10天后权重已经下降到了当天的1/3左右。同理，当\( \beta = 0.98\)时，可以把过去50天的气温指数加权平均作为当日的气温。

因此，在计算当前时刻的平均值时，只需要前一天的平均值和当前时刻的值。

$$ v_t = \beta v_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t $$

在实际代码中，只需要不断迭代赋值更新\( v\)即可：

$$ v := \beta v + (1 - \beta)\theta_t $$

指数平均加权并不是最精准的计算平均数的方法，你可以直接计算过去10天或50天的平均值来得到更好的估计，但缺点是保存数据需要占用更多内存，执行更加复杂，计算成本更加高昂。

指数加权平均数公式的好处之一在于它只需要一行代码，且占用极少内存，因此效率极高，且节省成本。

3.2 指数平均加权的偏差修正

当\( \beta=0.98\)时，前面提到的气温示例，指数加权平均结果如绿色曲线。但实际上真实曲线如紫色曲线所示：

紫色曲线与绿色曲线的区别是，紫色曲线开始的时候相对较低一些。因为开始时设置\( v_0 = 0\)，所以初始值会相对小一些，直到后面受前面的影响渐渐变小，趋于正常。

修正这种问题的方法是进行偏移校正（bias correction），即在每次计算完\( v_t\)后，对\( v_t\)进行下式处理：

$$ {V_t}=\frac{V_t}{1-\beta^t} $$

换算到迭代公式中，即有\( v_t = \frac{\beta v_{t-1} + (1 - \beta)\theta_t}{{1-\beta^t}}\)。

观察上式：随着\( t\)的增大，\( \beta\)的\( t\)次方趋近于0。因此当\( t\)很大的时候，偏差修正几乎没有作用，但是在前期学习可以帮助更好的预测数据。

4.动量梯度下降法

4.1 从指数加权平均到动量梯度下降

大家已经了解了指数加权平均，现在我们回到神经网络优化算法，介绍一下动量梯度下降算法，其速度要比传统的梯度下降算法快很多。做法是在每次训练时，计算梯度的指数加权平均数，并利用该值来更新权重\( W\)和常数项\( b\)。

具体过程为：for l = 1, .. , L

$$v_{dW^{[l]}} = \beta v_{dW^{[l]}} + (1 - \beta) dW^{[l]}$$

$$v_{db^{[l]}} = \beta v_{db^{[l]}} + (1 - \beta) db^{[l]}$$

$$W^{[l]} := W^{[l]} - \alpha v_{dW^{[l]}}$$

$$b^{[l]} := b^{[l]} - \alpha v_{db^{[l]}}$$

其中，将动量衰减参数\( \beta\)设置为0.9是超参数的一个常见且效果不错的选择。当\( \beta\)被设置为0时，显然就成了Batch梯度下降法。

4.2 梯度下降 vs 动量梯度下降

我们用下图来对比一下优化算法的优化过程

图中：

• 蓝色曲线：使用一般的梯度下降的优化过程，由于存在上下波动，减缓了梯度下降的速度，因此只能使用一个较小的学习率进行迭代。
• 紫色曲线：使用一般梯度下降+较大的学习率，结果可能偏离函数的范围。
• 红色曲线：使用动量梯度下降，通过累加过去的梯度值来减少抵达最小值路径上的波动，加速了收敛，因此在横轴方向下降得更快。

当前后梯度方向一致时，动量梯度下降能够加速学习；而前后梯度方向不一致时，动量梯度下降能够抑制震荡。

另外，在10次迭代之后，移动平均已经不再是一个具有偏差的预测。因此实际在使用梯度下降法或者动量梯度下降法时，不会同时进行偏差修正。

补充：在其它文献资料中，动量梯度下降还有另外一种写法：

\( V_{dW}=\beta V_{dW}+dW\)

\( V_{db}=\beta V_{db}+db\)

即消去了\( dW\)和\( db\)前的系数\( (1-\beta)\)。这样简化了表达式，但是学习因子\( \alpha\)相当于变成了\( \frac{\alpha}{1-\beta}\)，表示\( \alpha\)也受\( \beta\)的影响。从效果上来说，这种写法也是可以的，但是不够直观，且调参涉及到\( \alpha\)，不够方便。所以，实际应用中，推荐第一种动量梯度下降的表达式。

动量梯度下降法的形象解释

将成本函数想象为一个碗状，从顶部开始运动的小球向下滚，其中\( dw\)，\( db\)想象成球的加速度；而\( v_{dw}\)、\( v_{db}\)相当于速度。

小球在向下滚动的过程中，因为加速度的存在速度会变快，但是由于\( \beta\)的存在，其值小于1，可以认为是摩擦力，所以球不会无限加速下去。

5.RMSProp 算法

RMSProp(Root Mean Square Propagation，均方根传播)是另外一种优化梯度下降速度的算法，它在对梯度进行指数加权平均的基础上，引入平方和平方根。具体过程为(省略了\( l\))：

$$s_{dw} = \beta s_{dw} + (1 - \beta)(dw)^2$$

$$s_{db} = \beta s_{db} + (1 - \beta)(db)^2$$

$$w := w - \alpha \frac{dw}{\sqrt{s_{dw} + \epsilon}}$$

$$b := b - \alpha \frac{db}{\sqrt{s_{db} + \epsilon}}$$

其中，\( \varepsilon\)是一个实际操作时加上的较小数(例如\( 10^{-8}\))，为了防止分母太小而导致的数值不稳定。

如图所示，蓝色轨迹代表初始的移动，可以看到在\( b\)方向上走得比较陡峭(即\( db\)较大)，相比起来\( dw\)较小，这影响了优化速度。

因此，在采用RMSProp算法后，由于\( (dw)^2\)较小、\( (db)^2\)较大，进而\( s_{dw}\)也会较小、\( s_{db}\)也会较大，最终使得\( \frac{dw}{\sqrt{s_{dw} + \varepsilon}}\)较大，而\( \frac{db}{\sqrt{s_{db} + \varepsilon}}\)较小。后面的更新就会像绿色轨迹一样，明显好于蓝色的更新曲线。RMSProp减小某些维度梯度更新波动较大的情况，使下降速度变得更快。

RMSProp有助于减少抵达最小值路径上的摆动，并允许使用一个更大的学习率\( \alpha\)，从而加快算法学习速度。并且，它和Adam优化算法已被证明适用于不同的深度学习网络结构。

注意，\( \beta\)也是一个超参数。

对比原始梯度下降与RMSProp算法优化过程，如下图所示（上方为原始梯度下降，下方为RMSProp）

6.Adam 优化算法

6.1 Adam算法介绍

Adam (Adaptive Moment Estimation，自适应矩估计)算法结合了动量梯度下降算法和RMSprop算法，通常有超越二者单独时的效果。具体过程如下(省略了\( l\))：

首先进行初始化：

$$v_{dW} = 0, s_{dW} = 0, v_{db} = 0, s_{db} = 0$$

用每一个Mini-Batch计算\( dW\)、\( db\)，第\( t\)次迭代时：

$$v_{dW} = \beta_1 v_{dW} + (1 - \beta_1) dW$$

$$v_{db} = \beta_1 v_{db} + (1 - \beta_1) db$$

$$s_{dW} = \beta_2 s_{dW} + (1 - \beta_2) {(dW)}^2$$

$$s_{db} = \beta_2 s_{db} + (1 - \beta_2) {(db)}^2$$

一般使用Adam算法时需要计算偏差修正：

$$v^{corrected}_{dW} = \frac{v_{dW}}{1-{\beta_1}^t}$$

$$v^{corrected}_{db} = \frac{v_{db}}{1-{\beta_1}^t}$$

$$s^{corrected}_{dW} = \frac{s_{dW}}{1-{\beta_2}^t}$$

$$s^{corrected}_{db} = \frac{s_{db}}{1-{\beta_2}^t}$$

所以，更新\( W\)、\( b\)时有：

$$ W := W - \alpha \frac{v^{corrected}_{dW}}{{\sqrt{s^{corrected}_{dW}} + \varepsilon}} $$

$$ b := b - \alpha \frac{v^{corrected}_{db}}{{\sqrt{s^{corrected}_{db}} + \varepsilon}} $$

6.2 Adam超参数的选择

Adam优化算法有很多的超参数，其中

• 学习率\( \alpha\)：需要尝试一系列的值，来寻找比较合适的
• \( \beta_1\)：常用的缺省值为0.9
• \( \beta_2\)：Adam算法的作者建议为0.999
• \( \varepsilon\)：不重要，不会影响算法表现，Adam算法的作者建议为\( 10^{-8}\)

\( \beta_1\)、\( \beta_2\)、\( \varepsilon\)通常不需要调试。

对比原始梯度下降与RMSProp算法优化过程，如下图所示（上方为原始梯度下降，下方为Adam）

7.学习率衰减

减小学习率\( \alpha\)也能有效提高神经网络训练速度，这种方法被称为学习率衰减法（learning rate decay）。

学习率衰减就是随着迭代次数增加，学习率\( \alpha\)逐渐减小。如下图示例。

① 蓝色折线表示设置一个固定的学习率\( \alpha\)

• 在最小值点附近，由于不同的Batch中存在一定的噪声，因此不会精确收敛，而是始终在最小值周围一个较大的范围内波动。

② 绿色折线表示随着时间慢慢减少学习率\( \alpha\)的大小

• 在初期\( \alpha\)较大时，下降的步长较大，能以较快的速度进行梯度下降；
• 后期逐步减小\( \alpha\)的值，即减小步长，有助于算法的收敛，更容易接近最优解。

最常用的学习率衰减方法：

$$ \alpha = \frac{1}{1 + decay\_rate \ast epoch\_num} \ast \alpha_0 $$

其中，decay_rate为衰减率(超参数)，epoch_num为将所有的训练样本完整过一遍的次数。

• 指数衰减：\( \alpha = 0.95^{epoch\_num} \ast \alpha_0\)
• 其他：\( \alpha = \frac{k}{\sqrt{epoch\_num}} \ast \alpha_0\)
• 离散下降

对于较小的模型，也有人会在训练时根据进度手动调小学习率。

8.局部最优问题

在使用梯度下降算法不断减小cost function时，可能会得到局部最优解（local optima）而不是全局最优解（global optima）。

之前我们对局部最优解的理解是形如碗状的凹槽，如图左边所示。但是在神经网络中，local optima的概念发生了变化。准确来说，大部分梯度为零的“最优点”并不是这些凹槽处，而是形如右边所示的马鞍状，称为saddle point。

所以在深度学习损失函数中，梯度为零并不能保证都是convex（极小值），也有可能是concave（极大值）。特别是在神经网络中参数很多的情况下，所有参数梯度为零的点很可能都是右边所示的马鞍状的saddle point，而不是左边那样的local optimum。

类似马鞍状的plateaus会降低神经网络学习速度。Plateaus是梯度接近于零的平缓区域，如图所示。在plateaus上梯度很小，前进缓慢，到达saddle point需要很长时间。到达saddle point后，由于随机扰动，梯度一般能够沿着图中绿色箭头，离开saddle point，继续前进，只是在plateaus上花费了太多时间。

结论：

• 在训练较大的神经网络、存在大量参数，并且成本函数被定义在较高的维度空间时，困在极差的局部最优中是不大可能的；
• 鞍点附近的平稳段会使得学习非常缓慢，而这也是动量梯度下降法、RMSProp以及Adam优化算法能够加速学习的原因，它们能帮助尽早走出平稳段。

参考资料

• 图解数据分析
• numpy速查手册

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