[LeetCode][Golang] 215. 数组中的第K个最大元素

题目：

给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。

请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。

• 1 <= k <= nums.length <= 104
• -104 <= nums[i] <= 104

本算法题目有两种比较好的方法，分别为使用小顶堆和使用快速选择。

题解一：

首先我们使用小顶堆的方法求解，先贴代码（Go语言）：

type IntHeap []int

func (h IntHeap) Len() int           { return len(h) }
func (h IntHeap) Less(i, j int) bool { return h[i] < h[j] }
func (h IntHeap) Swap(i, j int)      { h[i], h[j] = h[j], h[i] }

func (h IntHeap) Top() int {
   return h[0]
}
func (h *IntHeap) Push(x interface{}) {
   // Push and Pop use pointer receivers because they modify the slice's length,
   // not just its contents.
   *h = append(*h, x.(int))
}

func (h *IntHeap) Pop() interface{} {
   old := *h
   n := len(old)
   x := old[n-1]
   *h = old[0 : n-1]
   return x
}
func findKthLargest(nums []int, k int) int {
   h := &IntHeap{}
   heap.Init(h)
   for _, num := range nums {
      if h.Len() < k {
         heap.Push(h, num)
      } else if (*h)[0] < num {
         heap.Pop(h)
         heap.Push(h, num)
      }
   }
   return heap.Pop(h).(int)
}

首先我们确定循环不变量：h中始终存储了最多k个数组元素，且是目前遍历过的最大的k个元素，且其中最小的元素为(*h)[0]。

h是一个小顶堆，则h能够保证，加入其中的元素的最小的元素为(*h)[0]。（小顶堆的概念可自行Google）

初始化： h中没有元素，不变式成立。

保持： 在迭代过程中，根据h的元素数量，分为如下两种情况：

• 如果h中元素的个数小于k，直接将本次迭代的数组元素num加入到h中。
• 如果h中元素的个数大于等于k，则需要比较当前h中，最小的元素是否大于num，若是，忽略num的处理，否则，将其替换为num。
  以上两种情况的结果均可以保证不变式成立。

终止： nums中的所有元素均被遍历后算法终止，不变式成立。

最终h中的最小元素(*h)[0]即为数组nums的第K个最大元素。

复杂度分析：

时间复杂度：O(nlogn)，建堆的时间代价是 O(n)，删除的总代价是O(klogn)，因为 k < nk < n，故渐进时间复杂为O(n + klogn) = O(nlogn)。

空间复杂度：O(logn)，即递归使用栈空间的空间代价。

题解二：

我们同样可以使用快速选择的方法求解，先贴代码（Go语言）：

func findKthLargest(nums []int, k int) int {
   rand.Seed(time.Now().UnixNano())
   return quickSelect(nums, 0, len(nums)-1, k)
}
func quickSelect(nums []int, l int, r int, k int) int {
   m := randomPartition(nums, l, r)
   if r-m+1 == k {
      return nums[m]
   } else if r-m+1 > k {
      return quickSelect(nums, m+1, r, k)
   } else {
      return quickSelect(nums, l, m-1, k-(r-m+1))
   }
}

func randomPartition(nums []int, l, r int) int {
   i := rand.Int()%(r-l+1) + l
   nums[i], nums[r] = nums[r], nums[i]
   return partition(nums, l, r)
}

func partition(nums []int, l int, r int) int {
   key := nums[r]
   //all in [l,i) < key
   //all in [i,j] > key
   i := l
   j := l
   for j < r {
      if nums[j] < key {
         nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
         i++
      }
      j++
   }
   nums[i], nums[r] = nums[r], nums[i]
   return i
}

快速选择与快速排序很类似，使用了相同的分治思想，（快速排序算法可参考这篇文章）将快速排序的处理阶段稍加修改即可。同时我们这里的快速选择算法使用了随机采样的方法，提高了算法的性能。

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，如上文所述，证明过程可以参考「《算法导论》9.2：期望为线性的选择算法」。

空间复杂度：O(log n)，递归使用栈空间的空间代价的期望为 O(logn)。

两种解法的对比：

• 快速选择算法时间复杂度更低，且不需要额外的存储空间。但是必须预先知道数组的总长度，所以适合对定长数组的计算。
• 堆需要额外的k个存储空间，且算法时间复杂度相对高一些。但是不需要预先知道待处理数组的规模，所以适合对流数据进行处理。