算法技巧之前缀和

一、什么是前缀和？

对于一个给定的数列 \(A\) ，它的前缀和数列 \(S\) 中 \(S_{[i]}\) 表示从第 \(1\) 个元素到第 \(i\) 个元素的总和。用公式表示为：

$$S_{[i]}=\sum_{j=1}^iA[j]$$
代码如下：

$S = [0];
for ($i=0;$i<count($arr);$i++) {
    $S[$i+1] = $S[i] + $arr[$i];
}

二、前缀和的应用

和为K的子数组

给定一个整数数组和一个整数 k，可以找到该数组中和为 k 的连续的子数组的个数。

三、前缀和的示例

（一）问题描述

给定一个整数数组和一个整数 k，你需要找到该数组中和为 k 的连续的子数组的个数。

输入：$nums = [1,6,2,5,4,2]; $k = 8;

输出：1。（连续子数组为[6,2]）

（二）问题分析

（1）先从熟悉的数列开始：

数列\( \lbrace a_n \rbrace \)

$$a_1,a_2,a_3,...,a_{n+1},...$$

数列的前 n 项和：

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}+a_{n}$$

例如，求数列的前 3 项和 \(S_3 = a_1 + a_2 + a_3\) ，数列的前 7 项和 \( S_7 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \)。

假如要求连续子数列 \( a_4,a_5,a_6,a_7 \) 的和。可以用数列的前 7 项和减去数列的前 3 项和。即：

$$S_7 - S_3 = a_4 + a_5 + a_6 + a_7$$

进行抽象：假如要求连续子数列 \( a_i,\cdots,a_j \) 的和，则可以用数列前 j 项的和减去数列前 \( i-1 \) 项的和：

$$ S_j - S_{i-1} = a_i + a_{i+1} +...+a_j $$

（2）回到数组，数组的下标是从 0 开始的：

$$arr = [a_0,a_1,a_2,...,a_{n+1},...]$$

数组的前 3 项和，实际是从 \( arr[0] \) 一直加到 \(arr[2]\)，即：\(S_3 = arr[0] + arr[1] + arr[2]\)。

以防搞混，在数组的最前面添加一个 0 元素，即 \( [0=>0,1=>a_0,2=>a_1,...]\)，相当于所有的元素都往后挪了一个位置。这样既不会影响结果，又和处理数列的方法同步。

此时，数组的前 7 项和就等于：

$$S_7=arr[1] + arr[2] + arr[3] + arr[4] + arr[5] + arr[6] + arr[7]$$

进行抽象，在数组的最前面添加 0 元素之后，求数组的连续子数组 \(arr[i,...,j]\) 和的方法与数列相同，其中 \(1 \le i \le j \lt len，其中i、j都为整数\)：

$$ S_j - S_{i-1} = arr[i] + arr[i+1] +...+arr[j] $$

假如某个连续子数组 \(arr[i,..,j]\) 的和为题目所给的 k ，则有：

$$ S_j - S_{i-1} = arr[i] + arr[i+1] +...+arr[j] = k$$

即：

$$ S_j - S_{i-1} = k $$

对其进行移项：

$$ S_{i-1} = S_j - k $$

\(i - 1\) 的范围是什么？由 \(1 \le i \le j \lt len\) 的范围可知：

$$0 \le i-1 \le j-1 \lt len$$

当遍历到第 j 项时，前 j 项的和 \(S_{j}\) 就已经确定了。而 k 又是一个常数，换句话说 \(S_{j} - k\) 是一个定值。此时前缀和数组中保存了数组的前 1 项和 \(S_1\)，前 2 项和 \(S_2\)，... ，前 \(j-1\) 项和 \(S_{j-1}\)。即：

$$[0=>1,S_1=>n,...,S_{j-1}=>n]$$

结合 \(i-1\) 的取值范围与前缀和数组的键可知，如果 \(S_{i-1} = S_j - k\) 成立，那么 \(S_{i-1}\) 一定是前缀和数组的某个键，具体是哪个键无关紧要。

例如，在输入的数组的最前面添加了 0 元素后： \(arr = [0,1,6,2,5,4,2]\)，当遍历到第 3 项时（起始的下标为 1，而非 0），\(S_3=1+6+2=9\)。

此时 \(S_3 - k = 9 - 8 = 1\)，即前 3 项和与 k 的差值为 1。

此时的前缀和数组为 \([0=>1,1(S_1)=>1,7(S_2)=>1]\)。而 \(S_3\) 与 k 的差值 1 为前缀和数组的键 \(S_1\)，故更新答案。

于是就将是否存在和为 k 的连续子数组的问题转化为了 \(S_j - k\) 的值是否为前缀和的键的问题。

（三）参考代码

function prefix($arr, $k)

{

    $prefix = [0=>0];

    $ans    = 0;

    $sum_j  = 0;
    // 在数组的最前面添加了 0 元素。
    array_unshift($arr, 0);
    // 添加 0 元素之后，就从下标 1 开始加。
    for ($j=1;$j<count($arr);$j++) {

        $sum_j += $arr[$j];

        $sum_i = $sum_j - $k;

        if (array_key_exists($sum_i, $prefix)) {

            $ans++;

        }

        $prefix[$sum_j] = getOrDefault($prefix, $sum_j) + 1;

    }

    return $ans;

}

function getOrDefault($arr, $key, $default = 0)

{

    // 辅助函数，通过键获取关联数组的值。

    // 如果键存在则返回该键的值，如果不存在则返回 默认值。

    if (array_key_exists($key, $arr)) {

        return $arr[$key];

    } else {

        return $default;

    }

}

$arr = [1,6,2,5,4,2];

$k = 8;

$re = prefix($arr, $k);

var_dump($re); // 1

四、复杂度分析

只用了一个循环，所以时间复杂度为 \(O(n)\)。

五、类似问题

1. 向下的路径节点值之和

参考资料

1. 前缀和

2. 前缀和技巧

3. 什么是前缀和?