计算机是如何实现乘法运算

机器码中看到的 , 是用来区分符号位和数值位的，并不实际意义

二进制的乘法运算和十进制乘法运算是一样的，都是采用：被乘数绝对值和乘数绝对值的每位相乘，然后错位相加

[x]原 = 1.1101，[y]原 = 0.1011

• 1.1101 × 0.1011 = 1.10001111

  • 0.1101 × 0.0001 = 0.00001101
  • 0.1101 × 0.001 = 0.0001101
  • 0.1101 × 0.00 = 0.000000
  • 0.1101 × 0.1 = 0.01101
• 错位相加：0.00001101 + 0.0001101 + 0.000000 + 0.01101 = 0.10001111
• 符号位进行异或运算：1 ⊕ 0 = 1
• 最终结果：1.10001111

这个是我们人类通过竖式计算得到出结果，那么计算机要怎么实现这个步骤呢？难道也是像人类一样，被乘数和乘数每位相乘，然后在错位相加？

这样做的话，乘数有多少位，就需要多少个寄存器，这就增加了硬件成本。

那计算机该如何实现乘法呢？

通过前面的学习，我们知道运算器是由 ACC 、MQ、X、ALU 组成。

ALU 是运算器的核心，计算的功能是由这部分它来完成的。ACC 、MQ、X，它们是用来暂存操作和中间结果，通过指令交由 ALU 处理。

在乘法运算中，各寄存器有各种不同的作用：

• ACC：乘积高位
• MQ：乘数，乘积低位
• X：被乘数

原码一位乘法

原码的一位乘法最终的运算结果是：ACC + MQ，运算结果的符号位在 ACC 符号位后(隐含位置)。

运算过程

在原码的一位乘法中，进行 n 轮加法和移位

• 每次加法可能是 +0 或 +[|x|]原，需要根据 MQ 最后一位来判断

  • MQ 最低位是 1，则 (ACC) + [|x|]原
  • MQ 最低位是 0，则 (ACC) + 0
• 每次移位是逻辑右移
• MQ 最后一位是符号位的话不参与运算（到此运算结束）
• 运算结果的符号位：被乘数和乘数的符号位进行异或运算
• 运算结果数值位：ACC + MQ

计算步骤

步骤	操作	ACC	MQ	X
1	ACC 置 0	0,0000	0,1011	0,1101
2	MQ 末尾是 1，ACC + X = 00000 + 01101	0,1101	0,1011	0,1101
3	逻辑右移一位	0,0110	10,101	0,1101
4	MQ 末尾是 1，ACC + X = 00110 + 01101	1,0011	10,101	0,1101
5	逻辑右移一位	0,1001	110,10	0,1101
6	MQ 末尾是 0，ACC + 0 = 01001 + 0	0,1001	110,10	0,1101
7	逻辑右移一位	0,0100	1110,1	0,1101
8	MQ 末尾是 1，ACC + X = 00100 + 01101	1,0001	1110,1	0,1101
9	逻辑右移一位，MQ 最后一位是符号位，运算结束	0,1000	11110,	0,1101
10	最终符号：被乘数符号位 ⊕ 乘数符号位 = 1 ⊕ 0 = 1	-	-	-

第9步，右移一位后，符号位移动到最后了，在原码的一位乘法中，最后一位符号位是不参与运算的。

所以最终的结果是 1.10001111

补码一位乘法

补码的一位乘法中 MQ 需要使用到辅助位，所以在最后一位补 0(称为辅助位，原本的最后一位称为最低位)

• ACC 在高位补 0
• X 在高位补充一位符号位（符号位是 0 补 0，是 1 补 1）

它的最终运算结果是 ACC + MQ 符号位前的值，运算结果的符号就是 ACC 最终结果的符号位。

运算过程

在补码的一位乘法中，进行 n 轮加法和移位

• 每次加法可能是 +0 或 +[x]补 或 +[-x]补，需要根据 MQ 最后两个来判断

  • MQ 的最后一位称为辅助位，最后第二位称为最低位
  • 辅助位 - 最低位 = 1 时，则 (ACC) + [x]补
  • 辅助位 - 最低位 = 0 时，则 (ACC) + 0
  • 辅助位 - 最低位 = -1 时，则 (ACC) + [-x]补

• 每次移位是算术右移

  • ACC 中符号位不参与移位，MQ 中符号参与移位
  • ACC 中正数右移，数值位补 0；负数右移，数值位补 1(符号位是啥就是啥)
• MQ 最后一位是符号位也会参与运算
• 运算结果的符号位：ACC 中最终结果的符号位
• 运算结果：ACC + MQ 符号位前的值

计算步骤

在计算之前，需要先准备好被乘数的补码：[x]补 = 11.0011，[-x]补 = 00.1101

步骤	操作	ACC	MQ	X
1	ACC 置 0	00,0000	0,10110	11,0011
2	MQ(辅助位 - 最低位) = 0 - 1 = -1，ACC + [-x]补 = 000000 + 001101	00,1101	0,10110	11,0011
3	算术右移一位	00,0110	10,1011	11,0011
4	MQ(辅助位 - 最低位) = 1 - 1 = 0，ACC + 0 = 000110 + 000000	00,0110	10,1011	11,0011
5	算术右移一位	00,0011	010,101	11,0011
6	MQ(辅助位 - 最低位) = 1 - 0 = 1，ACC + [x]补 = 000011 + 11.0011	11,0110	010,101	11,0011
7	算术右移一位	11,1011	0010,10	11,0011
8	MQ(辅助位 - 最低位) = 0 - 1 = -1，ACC + [-x]补 = 11,1011 + 001101	00,1000	0010,10	11,0011
9	算术右移一位	00,0100	00010,1	11,0011
10	MQ(辅助位 - 最低位) = 1 - 0 = 1，ACC + [x]补 = 00,0100 + 110011	11,0111	00010,1	11,0011
11	最终符号：ACC 中的符号位：1	-	-	-

相比于原码的一位乘法，补码的一位乘法在第九步算术右移后，符号位也要参与运算，也是说比原码的一位乘法多一步加法操作

所以最终的结果是：1.01110001

总结

补码的一位乘法运算过程比原码的运算过程多一步加法运算。

假如说数值位是 4，原码的一位乘法逻辑右移 4 次，做 4 次加法运算；补码的一位乘法算术右移 4，做 5 次加法运算。

也就是说原码的一位乘法进行 n 次右移，n 次加法，补码的一位乘法进行 n 次右移，n + 1 次加法。