计算机是如何实现除法运算的

二进制除法和十进制除法是一致的，都是采用：将被除数从高位除起，每次计算得到的商保留，余数加下一位数再次进行除法，依次将被除数所有位数运算完毕，得到的商按照按顺序组合，余数为最后一次运算结果。

[x]原 = 0.1011，[y]原 = 0.1101

• 0.1011 ÷ 0.1101 = 0.1101 ... 0.00000111

  • 1011 ÷ 1101 = 0
  • 10110 ÷ 1101 = 0.1 ... 1001
  • 10010 ÷ 1101 = 0.11 ... 0101
  • 01010 ÷ 1101 = 0.110
  • 10100 ÷ 1101 = 0.1101 ... 0.00000111
• 每做一次除法运算，如果被除数小于除数，商 0，否者商 1，在用余数减去除数，得到下一个被除数，以此循环
• 符号位进行异或运算：0 ⊕ 0 = 0
• 最终结果：0.1101，余数是 111

这是我们人类通过除法的竖式计算得到的结果，商 0 还是商 1，是通过比大小决定的，计算机在做除法的时候总不能凭空比大小吧？还有每次做完除法后，余数的位数也是不确定的。

那计算机该如何实现除法呢？

通过前面的学习，我们知道运算器是由 ACC 、MQ、X、ALU 组成。

ALU 是运算器的核心，计算的功能是由这部分它来完成的。ACC 、MQ、X，它们是用来暂存操作和中间结果，通过指令交由 ALU 处理。

再除法运算中，各寄存器有不同的作用：

• ACC：被除数、余数
• MQ：商
• X：除数

原码除法恢复余数法

最终运算结果，商在 MQ 中，商的位数是数值位位数；余数在 ACC 中，余数的位数是 2^-n；运算结果的符号位单独处理：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位。

运算过程

计算机每次都是商 1，如果不对，在改商 0，并恢复余数。

如何判断商 1 对不对呢？

用被除数(除数) - 商: ACC - X -> ACC - [y]原 -> ACC + [-y]补，如果余数是负数，则改商 0。

由于商错了，所以上一步计算的余数是不对的，需要恢复到之前的数，这时候机器肯定是没有存储它的，需要通过计算得到。

如何得到之前的数呢？

[y] 和 [-y] 互为相反数，因为上一步是加 [-y]补 得到的余数，那现在加 [y]补 得到之前的数(称为恢复余数)。

所以需要先把 [y]补，[-y]补 的机器码算出来

• [y]原 = 0.1101，[y]补 = 0.1101，[-y]补=1.0011

计算步骤

步骤	操作	ACC	MQ	X
1	被除数放置到 ACC 中，MQ 置 0	01011	00000	01101
2	MQ 商 1	01011	00001	01101
3	ACC - X = ACC + [-y]补 = 01011 + 10011	11110	00001	01101
4	ACC 是负数，ACC 需要恢复到之前的余数，ACC + [y]补 = 11110 + 01101，MQ 从 1 变成 0	01011	00000	01101
5	逻辑左移一位	10110	00000	01101
6	MQ 商 1	10110	00001	01101
7	ACC - X = ACC + [-y]补 = 10110 + 10011	01001	00001	01101
8	ACC 是正数，不需要恢复余数	01001	00001	01101
9	逻辑左移一位	10010	00010	01101
10	MQ 商 1	10010	00011	01101
11	ACC - X = ACC + [-y]补 = 10010 + 10011	00101	00011	01101
12	ACC 是正数，不需要恢复余数	00101	00011	01101
13	逻辑左移一位	01010	00110	01101
14	MQ 商 1	01010	00111	01101
15	ACC - X = ACC + [-y]补 = 01010 + 10011	11101	00111	01101
16	ACC 是负数，ACC 需要恢复到之前的余数，ACC + [y]补 = 11101 + 01101	01010	00110	01101
17	逻辑左移一位	10100	01100	01101
18	MQ 商 1	10100	01101	01101
19	ACC - X = ACC + [-y]补 = 10100 + 10011	00111	01101	01101
20	最终符号位：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位 = 0 ⊕ 0 = 0	-	-	-

第19步，如果计算的结果是负数，还是要再进行一步恢复余数，这里计算的结果是正数，所以就结束了，不再左移了。

这里逻辑左移了 4 次，上商 5 次，所以机器位数是 n 位，那么需要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次

最终结果：

• 商：0.1101
• 余数：0.00000111

原码除法加减交替法(不恢复余数法)

最终运算结果，商在 MQ 中，商的位数是数值位位数；余数在 ACC 中，余数的位数是 2^-n；运算结果的符号位单独处理：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位。

运算过程

ACC - X = ACC + [-y]补 的值如果是负数，那么我们会加上它相反数的补 ACC + [y]补，这一步被称为恢复余数。

1. ACC + [-y]补 负数
2. ACC + [-y]补 + [y]补 恢复余数
3. 2(ACC + [-y]补 + [y]补) 逻辑左移一位
4. 2(ACC + [-y]补 + [y]补) - [y]补 减除数

简化得 2(ACC + [-y]补) + [y]补

• ACC + [-y]补 如果是负数的话，将 MQ 改商 0
• 逻辑左移一位(ACC 和 MQ 都要逻辑左移)
• MQ 商 1，并且加上除数 [y]补

计算步骤

步骤	操作	ACC	MQ	X
1	置 0	01011	00000	01101
2	MQ 商 1	01011	00001	01101
3	ACC - X = ACC + [-y]补 = 01011 + 10011	11110	00001	01101
4	ACC 是负数，MQ 改商 0	11110	00000	01101
5	逻辑左移一位	11100	00000	01101
6	MQ 商 1	11100	00001	01101
7	ACC + X = ACC + [y]补 = 11100 + 01101	01001	00001	01101
8	ACC 是正数，MQ 不用改	01001	00001	01101
9	逻辑左移一位	10010	00010	01101
10	MQ 商 1	10010	00011	01101
11	ACC - X = ACC + [-y]补 = 10010 + 10011	00101	00011	01101
12	ACC 是正数，MQ 不用改	00101	00011	01101
13	逻辑左移一位	01010	00110	01101
14	MQ 商 1	01010	00111	01101
15	ACC - X = ACC + [-y]补 = 01010 + 10011	11101	00111	01101
16	ACC 是负数，MQ 改商 0	11101	00110	01101
17	逻辑左移一位	11010	01100	01101
18	MQ 商 1	11010	01101	01101
19	ACC + X = ACC + [y]补 = 11010 + 01101	00111	01101	01101
20	最终符号位：被除数的符号位 ⊕ 除数符号位 = 0 ⊕ 0 = 0	-	-	-

第19步，如果计算的结果是负数，MQ 还是要进行改商 0，并左移再加上 [y]补，和恢复余数法是一样的步骤。

这里逻辑左移了 4 次，上商 5 次，所以机器位数是 n 位，那么需要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次

最终结果：

• 商：0.1101
• 余数：0.0111 × 2^-4 = 0.00000111

补码除法加减交替法

题目：[x]原 = 0.1000，[y]原 = 1.1011，[y]补 = 1.0101，[-y]补 = 0.1011

被除数和除数要用两位符号位：

• [x]原 = 00.1000
• [y]原 = 11.1011
• [y]补 = 11.0101
• [-y]补 = 00.1011

运算过程

判断被除数(余数)和除数的符号位

1. 被除数和除数符号位判断

   • 同号，被除数减除数
   • 异号，被除数加除数

2. 余数和除数符号位判断

   • 同号，MQ 商 1，ACC 和 MQ 逻辑左移一位，余数减除数
   • 异号，MQ 商 0，ACC 和 MQ 逻辑左移一位，余数加除数
3. 循环第三步，循环的次数是机器位数

计算步骤

步骤	操作	ACC	MQ	X
1	置 0	001000	00000	110101
2	ACC + X = ACC + [y]补 = 001000 + 110101	111101	00000	110101
3	ACC 和 X 同号，MQ 商 1	111101	00001	110101
4	逻辑左移一位	111010	00010	110101
5	ACC - X = ACC + [-y]补 = 111010 + 001011	000101	00010	110101
6	ACC 和 X 异号，MQ 商 0	000101	00010	110101
7	逻辑左移一位	001010	00100	110101
8	ACC + X = ACC + [y]补 = 001010 + 110101	111111	00100	110101
9	ACC 和 X 同号，MQ 商 1	111111	00101	110101
10	逻辑左移一位	111110	01010	110101
11	ACC - X = ACC + [-y]补 = 111110 + 001011	001001	01010	110101
12	逻辑左移一位	010010	10100	110101
13	ACC + X = ACC + [y]补 = 010010 + 110101	000111	10100	110101
14	MQ 末尾横置 1	000111	10101	110101
15	最终符号位：ACC 中的符号位 00	-	-	-

第14步最终计算的结果，末尾要横置 1，其精度误差 2^-4。

这里逻辑左移了 4 次，上商 5 次，所以机器位数是 n 位，那么需要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次

最终结果：

• 商：1.0101
• 余数：0.0111 × 2^-4 = 0.00000111

总结

原码的除法运算和补码的除法运算的左移都是逻辑左移。

机器位数是 n 位，那么需要逻辑左移 n 次，上商 n+1 次，

• 补码除法运算最后一步横置 1，其精度误差 2^-4