Field Play：Runge-Kutta

引子

在 Filed Play：简介中提到了这个方法，查资料了解了一下。

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相关概念

极限

有时不能直接计算某个值，但可以看看逐渐接近时的情况，看下面的例子：

当 x = 1 时，发现结果是 0/0 ，这个在数学上是未定式，是不确定的。那看看接近的情况：

x	f(x)
0.5	1.5
0.9	1.9
0.99	1.99
0.9999	1.9999
0.999999	1.999999

发现当 x 接近 1 的时候，f(x) 越来越接近 2 ，这种情况就是极限。

我们可以说当 x 趋近 1 时，f(x) 的极限是 2 ，用符号表示就是：

更加正式的定义见这里。

导数

设函数 f(x) 在 x₀ 有定义，如果以下极限存在：

则称 f(x) 在 x₀ 处可导，上述极限值为 f(x) 在 x₀ 处的导数，记作 f^'(x₀) 。

导数描述的是函数的变化率，在几何中可以通过导数计算出某一点切线的斜率。

求导法则见这里。

微分

设函数 y=f(x) 在 x₀ 处连续，若存在实数 A ，使得:

其中 △x -> 0 ，则称 f(x) 在 x₀ 处可微，线性部分 A△x 为 f(x) 在 x₀ 处的微分，记作 dy 。

微分的几何意义是线性替代，线性替代的思想可以推广至高阶替代。

更加详细的介绍见这里。

微分方程

微分方程指的是含有函数及其导数的方程。微分方程中有的有无穷多解，有的无解，有的则仅有有限个解。

微分方程的阶数取决于方程中出现的最高次导数阶数。

• 常微分方程：仅含有一个独立变量的微分方程。
• 偏微分方程：函数包含两个或两个以上的独立变量。
• 特解：满足微分方程的某一个解。
• 通解：满足微分方程的一组解。
• 初值问题：满足初值条件的常微分方程的解。
• 单步法：计算下一个点的值 y_n+1 只需要用到前面一个点的值 y_n 。
• 多步法：计算下一个点的值 y_n+1 需要用到前面 m 个点的值 y_m 。

更多信息见这里和这里。

Runge-Kutta

龙格－库塔法是一种求解常微分方程数值解的单步算法。其中有一个在工程上应用很广泛，称为 RK4 。

对于一阶微分方程初值问题：

其中，t₀ 为初始时间（已知常数），y₀为初始状态（已知向量），f(t,y) 是关于时间 t 和状态 y 的函数（已知函数）。

RK4 求解算法为：

其中：

h 为时间步长。

参考资料

• Runge–Kutta methods wiki
• Runge–Kutta methods mathworld
• Runge-Kutta方法及其推导
• 龙格库塔法