数组索引的时间复杂度 O(1) 的本质是并行二分查找

上图是寻址逻辑电路，输入端 A、B 共同组成 2 bit 的地址线，2 bit 的地址线可以表示 00、01、10、11 这 4 个地址，它们分别位于输出端 Z、Y、X、W，通过地址线表示的二进制数就可以找到输出端中的不同地址（以后就可以对其进行读写操作了）

也可以这样理解：输入端 A、B 相当于两个开关，输出端 Z、Y、X、W 相当于 4 个灯泡，两个开关的不同状态的组合就可以控制其中 1 个灯泡中的亮灭。

接下来分析单一输入端：

当输入端A 为 1 时，会选出输出端X、输出端W；

当输入端A 为 0 时（经过非门会变成 1），会选出输出端Z、输出端Y；

结论：不管输入端A 是 0 还是 1，都会选出一半

当输入端B 为 1 时，会选出输出端W、输出端Y；

当输入端B 为 0 时（经过非门会变成 1），会选出输出端X、输出端Z；

结论：不管输入端 B 是 0 还是 1，都会选出一半

由于只有当与门同时为 1 时，输出端才会输出 1。

现在，当输入端A和输入端B分别为 0、1 时，输出端Y就是输入端A、B 共同选出的地址。

上图的红线为 1（输入端A 的 0 经过非门会将其之后的线路置为 1）

那它的时间复杂度是怎么样的呢？

由于输入端A、输入端B（比如地址 01）是同时输入的，所以电路会进行并行的二分查找，一个输入端的一次二分查找是 O(1)，所有的输入端并行，进行一次二分查找同样是 O(1)。

以上是 2 bit 寻址，更多 bit 的寻址同样是并行进行的，所以时间复杂度同样是 O(1)。

寻址的物理本质是并行二分查找，而数组索引就是在寻址，所以这就是为什么数组的时间复杂度是 O(1) 的原因。

下图是 3 bit 寻址逻辑电路

可以看到有 3 个输入端、8 个输出端。因为 3 bit 地址线的寻址空间大小是 \( 2^3=8 \)。输入端越多，可以寻找的地址空间也就越大。

当输入端有 32 bit 时，可以寻找的地址空间有 \( 2^{32}=4294967296 \) 个，它对应的内存空间是 4 GB，这也就是为什么 32 位系统支持的最大内存是 4 GB 的原因了。

64 位系统的寻址空间大小是 16 EB

1 EB = 1024 PB