【隐私计算笔谈】MPC系列专题（六）：零知识证明和比特承诺

零知识证明

交互式证明系统由两方参与，分别为证明者（Prover）和验证者 （Verifier）。证明者掌握某一秘密，证明者需要让验证者相信自己掌握该秘密。

交互式证明过程需要多轮，最典型的是每一轮验证者向证明者发送一个询问信息（挑战，Challenge），证明者对询问信息进行计算，并回复信息响应（Response）。

验证者根据证明者每一轮的回复信息决定是否相信证明者。在交互式证明系统中，通信信道是必须的。交互式证明系统满足：

完备性：如果证明者知道某一秘密，验证者将接受证明的证明。

可靠性：如果证明者能以一定的概率使验证者相信证明者的证明，则证明者知道相应的秘密。 

零知识证明（Zero-Knowledge Proof），是指证明者在不让验证者掌握秘密信息的前提下，使得验证者确信自己确实掌握了这些信息。验证者除了知道证明者能证明某一事实外，不能得到其他任何信息。

例如，Alice宣称知道一个能够对抛硬币正反面的诀窍。Bob要验证Alice的宣称，只需要当着Alice的面抛硬币。

Bob抛一次硬币Alice能猜中结果的概率为1/2，连续抛两次硬币Alice都能猜中结果的概率为1/4，连续抛𝑛次硬币Alice都能猜中结果的概率为1/\( 2^𝑛 \)，当𝑛足够大时，就可以认为Alice全都正确猜中是不可能事件。

那么如果Alice真的全都猜对了，Bob就可以相信Alice的宣称。

另一个经典的例子是有一个简单的迷宫：

C和D之间有一扇需要秘密口令才能打开的门，证明者要向验证者证明自己能够打开这扇门，又不想泄露秘密口令。可以采用如下所述的证明协议：

1. 验证者在协议开始时停留在位置 A
2. 证明者一直走到迷宫内部的位置 C 或者位置 D 处 
3. 在证明者消失之后，验证者走到位置 B 处，然后命令证明者从某个出口处出来
4. 证明者根据验证者的命令，从对应出口处出来
5. 证明者和验证者重复以上过程𝑛轮 

只有证明者知道口令，每次验证者要求证明者从指定路口出来时，证明者才能根据命令打开门穿过去或者原路返回，从指定路口出来。

如果证明者不知道打开门的秘密口令，则证明者只能原路返回。因此不知道口令的证明者只能在一开始猜测验证者要求的路口，并从该路口进入，一轮猜对的概率是1/2，重复𝑛轮后，证明者都能猜对概率为1/\( 2^𝑛 \)，重复的轮数𝑛足够多时，验证者就可相信证明者拥有打开门的秘密口令。 

接下来介绍Schnorr零知识证明协议：

 令𝐺 =<𝑔>是𝑞阶群，𝑞为大素数，证明者拥有秘密知识𝑥 ∈𝑍𝑛，并公开系统公钥\( 𝑦=𝑔^𝑥 \) 。

1. 证明者产生一个随机数𝑢∈𝑍𝑛，计算\( 𝑎=𝑔^𝑢 \)并发送给验证者。
2. 验证者Bob产生一个随机数𝑐∈{0,1}并发送给证明者Alice。
3. 如果𝑐=0，证明者计算𝑠=𝑢；如果𝑐=1，证明者计算𝑠=𝑢+𝑥。之后证明者将𝑠发送给验证者。
4. 若𝑐=0，证明者验证𝑔𝑠=𝑎；如果𝑐=1，证明者计算\( 𝑔^𝑠=𝑎𝑦 \)。

公钥\( 𝑦=𝑔^𝑥 \)，由于离散对数分解困难，因此无法直接根据\( 𝑔^𝑥 \)计算出𝑥。因为证明者根据𝑐的值选择发送𝑢+𝑥或者𝑢，若证明者不知道𝑥的值，那么当验证者发送𝑐=1时，证明者无法发出正确的𝑠=𝑢+𝑥，验证者在验证\( 𝑔^𝑠=𝑔^{𝑢+𝑥}=𝑔^𝑢· 𝑔^𝑥=𝑎·𝑦 \)时就会验证失败。

想象一个攻击者Tom，他知道Bob之后产生的𝑐为什么值。则Tom可以任𝑠(𝑔)意构造𝑠，若𝑐=0则让\( 𝑎=𝑔^𝑠 \)；若𝑐=1则让𝑎=𝑦 。即只要攻击者知道Bob之后产生的𝑐具体为什么值，Tom都可构造一个𝑎，使得Bob认为Tom知道𝑥的值，虽然Tom其实并不知道𝑥，只知道Bob会产生的𝑐的值，即Bob并不知道𝑥的任何信息，所以无法区分出Alice和Tom。

比特承诺

比特承诺（Bit Commitment），最早在1995年由图灵奖获得者Blum首先提出。

比特承诺分为两个阶段，第一个阶段为承诺阶段，承诺者向验证者承诺秘密值𝑥，并向验证者发送对验证者保密的秘密值𝑥。

第二个阶段是揭示阶段，承诺者向验证者揭示第一个阶段承诺的确实是𝑥，同时验证者得知秘密值𝑥的内容。也可以简单理解成承诺阶段，承诺方将一个消息锁进一个盒子里，再将该消息发送给验证方。

验证阶段，承诺方将盒子打开，向验证方展示盒子里的内容，以证明自己确实将消息锁在盒子里发送给了验证方。

接下来介绍一个基于强单向函数（哈希函数）的承诺方案，将该强单向函数记为𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑥)（满足找出任意两个𝑥和𝑦，使得𝐻(𝑥)=𝐻(𝑦)不可行；已知𝐻(𝑥)，无法求出𝑥；任意两个不同的𝑥和𝑦，无法区分出𝐻(𝑥)和𝐻(𝑦)哪个的原像是𝑥）：

承诺阶段：

1. Alice产生两个随机数\( 𝑟_1,𝑟_2 \)。
2. Alice将随机数\( 𝑟_1,𝑟_2 \)与自己将要承诺的消息M进行连接，记为\( 𝑟_1,𝑟_2,𝑚 \)。
3. Alice计算\( 𝑟_1,𝑟_2,𝑚 \)的哈希值\( 𝑐=𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚) \)，并将𝑐和\( 𝑟_1 \)发送给Bob，作为Alice对消息m的承诺。 

揭示阶段：

1. Alice将\( 𝑟_1,𝑟_2,𝑚 \)告知Bob

2. Bob 计算\( 𝑟_1,𝑟_2,𝑚 \)的哈希值𝑐′，并将𝑐′的值与𝑐进行比较，如果匹配，则承诺有效。 

由于Hash的抗一次原像性(preimage resistance)，Bob无法根据𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟1,𝑟2,𝑚)计算出𝑚，保证了计算意义上的隐藏性，Bob的计算力无法计算出𝑚。

若Hash满足对于任意𝑚，函数\( ℎ_𝑚(𝑟_1,𝑟_2) = 𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚) \)都是规则的(即每个像的原像个数都相同)，那么\( 𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚) \)在信息论意义上隐藏了𝑚，因为𝑚的取值与\( 𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚) \)是独立的，即对于任意𝑚!=𝑚′，任意取值𝑣都满足

\( 𝑃𝑟[𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚)=𝑣]=𝑃𝑟[𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚′) = 𝑣] \)

通俗的说，Bob即使有无限的计算力，计算出满足\( 𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑦)=𝐻𝑎𝑠ℎ(𝑟_1,𝑟_2,𝑚) \)的所有𝑦的集合𝑌，𝑌中任意一个元素是(\( 𝑟_1,𝑟_2,𝑚 \))的概率也都相同，Bob猜对的概率只有1/|𝑌|。

在实际中，我们通常可假设Hash(*)是一个随机预言机(random oracle)，且\( 𝑟_1 \)和\( 𝑟_2 \)足够长，保证ℎ𝑚是接近规则的，在统计意义上隐藏了𝑚的信息。