基于凸集上投影（POCS）的聚类算法

POCS：Projections onto Convex Sets。在数学中，凸集是指其中任意两点间的线段均在该集合内的集合。而投影则是将某个点映射到另一个空间中的某个子空间上的操作。给定一个凸集合和一个点，可以通过找到该点在该凸集合上的投影来进行操作。该投影是离该点最近的凸集内的点，可以通过最小化该点和凸集内任何其他点之间的距离来计算。既然是投影，那么我们就可以将特征映射到另一个空间中的凸集合上，这样就可以进行聚类或降维等操作。

本文综述了一种基于凸集投影法的聚类算法，即基于POCS的聚类算法。原始论文发布在IWIS2022上。

凸集

凸集定义为一个数据点集合，其中连接集合中任意两点x1和x2的线段完全包含在这个集合中。根据凸集的定义，认为空集∅、单集、线段、超平面、欧氏球都被认为是凸集。数据点也被认为是凸集，因为它是单例集（只有一个元素的集合）。这为 POCS 的概念应用于聚类数据点开辟了一条新路径。

凸集投影(POCS)

POCS方法大致可分为交替式和并行式两种。

1、交替式poc

从数据空间中的任意一点开始，从该点到两个(或多个)相交凸集的交替投影将收敛到集合交点内的一点，例如下图：

当凸集不相交时，交替投影将收敛到依赖于投影阶数的greedy limit cycles。

2、并行式 POCS

与交替形式不同，并行的POCS 是从数据点到所有凸集同时进行投影，并且每个投影都有一个重要性权重。对于两个非空相交凸集，类似于交替式版本，平行投影会收敛到集相交处的一个点。

在凸集不相交的情况下，投影将收敛到一个最小解。基于pocs的聚类算法的主要思想来源于这一特性。

有关POCS的更多细节，可以查看原论文

基于pocs的聚类算法

利用并行POCS方法的收敛性，论文作者提出了一种非常简单但在一定程度上有效的聚类算法。该算法的工作原理与经典的K-Means算法类似，但在处理每个数据点的方式上存在差异：K-Means算法对每个数据点的重要性加权相同，但是基于pocs的聚类算法对每个数据点的重要性加权不同，这与数据点到聚类原型的距离成正比。

算法的伪代码如下所示:

实验结果

作者在一些公共基准数据集上测试了基于pocs的聚类算法的性能。下表总结了这些数据集的描述。

作者比较了基于pocs的聚类算法与其他传统聚类方法的性能，包括k均值和模糊c均值算法。下表总结了执行时间和聚类错误方面的评估。

聚类结果如下图所示：

示例代码

我们在一个非常简单的数据集上使用这个算法。作者已经发布了直接使用的包，对于应用我们可以直接使用：

 pip install pocs-based-clustering

创建一个以10个簇为中心的5000个数据点的简单数据集:

 # Import packages
 importtime
 importmatplotlib.pyplotasplt
 
 fromsklearn.datasetsimportmake_blobs
 frompocs_based_clustering.toolsimportclustering
 
 
 # Generate a simple dataset
 num_clusters=10
 X, y=make_blobs(n_samples=5000, centers=num_clusters, \
                   cluster_std=0.5, random_state=0)
 
 plt.figure(figsize=(8,8))
 plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=50)
 plt.show()

执行聚类并显示结果:

 # POSC-based Clustering Algorithm
 centroids, labels=clustering(X, num_clusters, 100)
 
 # Display results
 plt.figure(figsize=(8,8))
 plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, s=50, cmap='viridis')
 plt.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], s=100, c='red')
 plt.show()