PINN+SIREN 求解反问题：基于机器学习方法的全波形反演初探

近年来，数据驱动的深度学习方法在自然语言处理、计算机视觉等领域中给出很多复杂应用问题的解决方案。在计算模拟领域，机理+数据驱动融合的计算方法不断发展，成为数值模拟现实问题的新范式。

正问题和反问题是一对互逆的问题，一个科学问题包含输入，过程和输出， 在正问题里我们在给定输入和过程的情况下寻找输出，而反问题在给定输出和过程或输入的前提下求解另一者。对于偏微分方程问题而言，反问题就是由定解问题的解的部分信息去求定解问题的未知成分。在偏微分方程的计算上，许多学者提出了不同的 AI 模型和算法求解偏微分方程相关的正、反问题，在上期中我们介绍了在 AI for PDE 领域中的 RFM (Random Feature Method) 方法，它能够在求解正问题中能够实现谱精度。

本期我们来到 AI for PDE 领域中的物理信息神经网络方法 (Physics-Informed Neural Networks, PINNs) ，展示 PINNs 方法求解反问题的流水线！我们从建模波传播规律的 Helmholtz 方程出发，Helmholtz 方程是波动方程的傅里叶变换形式，在物理学中电磁辐射、地震学和声学等相关研究领域里有着广泛应用，它的一个非常有挑战的反问题是：

全波形反演 (Full Waveform Inversion)：在空间中的一些位置发出波，并在一些位置布置接受器接受信号，根据这些信号重构波形和目标的介值参数。

全波形反演问题基于不同方程可以应用于医学成像、地下能源勘探，污染物检测等领域，但同时也是一个非常不适定的非线性问题，需要稳定精确的求解方法。

值得关注的是，在求解 Helmholtz 方程的问题中，一个比较大的挑战是波数较高的情形下，无论是传统方法还是 PINNs，正反问题均较难收敛。对于正反问题的计算，一个好的正则化或初值的选取都有助于解的收敛，在这个背景下，Sitzmann 等学者提出使用以正弦函数为激活函数的 SIREN 网络来建模波场，引入了周期性这一隐式的正则化，使高频波动更容易被网络建模。

一方面它能获得低波数情况下的高质量重构（如图一），另一方面即使是对一些更高波数的正问题它的处理能力仍有欠缺（如图二），这也呼唤了更适应 Helmholtz 方程高波数问题的求解新方法！

                图 1：SIREN 在波数为 20 情形下的全波形反演的波长与慢度平方函数

                图 2：SIREN 在不同波数问题下的正问题解误差随训练代数变化图像

更多的细节，让我们用这个 Notebook 来试试 SIREN 的性能，看看一套基于 PINN 的正反问题求解流程是怎么样的，以及波数高低的影响如何反映在求解过程中~

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FWI Notebook

本期 Notebook 将以全波形反演为例，介绍反问题的基本内容、Helmholtz 方程的正反问题的基本原理和基于 PINN+SIREN 的机器学习方法的简单实现，并讨论方程的波数，网络的结构对问题求解的影响。阅读这个 Notebook 不需要很强的科学计算或者机器学习的背景知识，只需具备基本的数学和编程知识。如果你感兴趣 AI for PDE ，本期 Notebook 会是你的一个好的起点。

跟随本期 Notebook，即刻点击下方图片查看吧：

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