买彩票能中大奖？用Java盘点常见的概率悖论 | 京东云技术团队

引言

《双色球头奖概率与被雷劈中的概率哪个高？》

《3人轮流射击，枪法最差的反而更容易活下来？》

让我们用Java来探索ta们！

悖论1：著名的三门问题

规则描述：你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？请问若想获得车，参赛者应该换二号门吗？

论证：分析需求，拆解为如下代码

/**
 * <p> 三门问题解决方案 </p>
 * @author yuanfeng.wang
 * @since 2023/8/29
 */
import java.util.Random;

public class ThreeDoorSolution {

    public static void main(String[] args) {
        // 模拟执行1万次，打印获胜的概率
        threeDoor(10000);
    }

    /**
     * 三门问题逻辑拆解
     * @param numSimulations 总共执行多少轮游戏
     */
    private static void threeDoor(int numSimulations) {
        int switchWins = 0;
        int stayWins = 0;

        Random random = new Random();
        for (int i = 0; i < numSimulations; i++) {
            // 随机确定车所在的门
            int carDoor = random.nextInt(3);

            // 玩家随机选择一扇门
            int playerChoice = random.nextInt(3);

            // 主持人随机打开一扇门：要求该门不是玩家选择的，且必须是羊
            int openedDoor;
            do {
                openedDoor = random.nextInt(3);
            } while (openedDoor == carDoor || openedDoor == playerChoice);

            // 换门后的选择：不能是打开的门，不能是玩家选择的门，则是交换之后的门
            int finalChoice;
            do {
                finalChoice = random.nextInt(3);
            } while (finalChoice == playerChoice || finalChoice == openedDoor);

            // 计算是否换门获胜
            if (finalChoice == carDoor) {
                switchWins++;
            }

            // 计算不换门获胜
            if (playerChoice == carDoor) {
                stayWins++;
            }
        }

        // 输出结果
        System.out.println("在 " + numSimulations + " 次模拟中：");
        System.out.println("换门获胜的概率：" + (double) switchWins / numSimulations);
        System.out.println("不换门获胜的概率：" + (double) stayWins / numSimulations);
    }
}
// 模拟运行，打印结果如下
// 在 10000 次模拟中：
// 换门获胜的概率：0.6679
// 不换门获胜的概率：0.3321

结论：三门问题看似一道简单的概率题，几十年来却一直引发巨大争议，持两种不同观点的人基本是五五开；事实上始终选择换门的玩家，获胜的概率2/3，而保持原方案的胜率只有1/3

悖论2：双色球我能中大奖

规则描述：从1-33个红色球中随机选出6个，再从1-16个蓝色球中随机选择1个，最终开奖出一注 6+1组合球，无顺序要求；

• 一等奖：中6红 + 1蓝
• 二等奖：中6红
• 三等奖：中5红 + 1蓝
• 四等奖：中4红 + 1蓝，或只中5个红
• 五等奖：中3红 + 1蓝，或只中4个红
• 六等奖：中1蓝

论证：分析玩法，计算一等奖中奖率，从33个红球样本中选择6个，计算总共的组合数，即数学公式C(n, m) = n!/((n-m)! m!)，代入计算C(33, 6) = 33!/((33-6)! 6!) = 1107568，再乘以16，最终得出一等奖获奖概率1/17721088。

分析规则，以下代码展示了开奖一次，购买N注时，打印中奖信息的程序，当代入N=500万时，多次执行，可以很轻松打印出一等奖

import java.util.*;

/**
 * <p>双色球随机模拟</p>
 * @author yuanfeng.wang
 * @since 2023/8/29
 */
public class SsqSolution {

    private static Random random = new Random();

    /**
     * 开奖的红球
     */
    private static Set<Integer> winningRedBalls;

    /**
     * 开奖的蓝球
     */
    private static int winningBlueBall;

    // 静态块初始化一组开奖号码
    static {
        // 篮球 01-16
        winningBlueBall = random.nextInt(16) + 1;

        // 红球 01-33生成6个
        winningRedBalls = new HashSet<>();
        while (winningRedBalls.size() < 6) {
            int num = random.nextInt(33) + 1;
            winningRedBalls.add(num);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        play(500_0000);
    }

    /**
     *
     * @param num 运行一次程序只开一次奖，此参数表示总共购买多少注
     */
    public static void play(int num) {
        System.out.println("\n本期开奖号码：");
        System.out.println("红球：" + winningRedBalls + " 篮球：" + winningBlueBall);
        for (int i = 0; i < num; i++) {
            playOnce();
        }
    }

    private static void playOnce() {
        Set<Integer> userRedBalls = getUserSelectedRedBalls();
        int userBlueBall = getUserSelectedBlueBall();

        int redBallMatch = countMatchingBalls(userRedBalls, winningRedBalls);
        boolean blueBallMatch = (userBlueBall == winningBlueBall);

        if (redBallMatch == 6 && blueBallMatch) {
            System.out.println("\n恭喜你中了一等奖！");
            System.out.println("玩家购买的号码：");
            System.out.println("红球：" + userRedBalls + " 蓝球：" + userBlueBall);
        } else if (redBallMatch == 6) {
            System.out.println("\n恭喜你中了二等奖！");
        } else if (redBallMatch == 5 && blueBallMatch) {
//            System.out.println("\n恭喜你中了三等奖！");
        } else if (redBallMatch == 5 || (redBallMatch == 4 && blueBallMatch)) {
//            System.out.println("\n恭喜你中了四等奖！");
        } else if (redBallMatch == 4 || (redBallMatch == 3 && blueBallMatch)) {
//            System.out.println("\n恭喜你中了五等奖！");
        } else if (blueBallMatch) {
//            System.out.println("\n恭喜你中了最小奖！");
        } else {
            //没中奖，不打印记录
        }
    }

    /**
     * 返回玩家选择的6个红球,范围1-33，不重复
     */
    private static Set<Integer> getUserSelectedRedBalls() {
        Set<Integer> userRedBalls = new HashSet<>();
        while (userRedBalls.size() < 6) {
            int num = random.nextInt(33) + 1;
            userRedBalls.add(num);
        }
        return userRedBalls;
    }

    /**
     * 玩家选择的1个蓝球,范围1-16
     */
    private static int getUserSelectedBlueBall() {
        return random.nextInt(16) + 1;
    }

    /**
     * 匹配中了几个红球
     * @return 中红球个数
     */
    private static int countMatchingBalls(Set<Integer> userBalls, Set<Integer> winningBalls) {
        int count = 0;
        for (int ball : userBalls) {
            if (winningBalls.contains(ball)) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

}

结论：排除其它因素，头奖概率约1700万分之1，这个结论并不直观，例举如下几个进行对比

1.一家祖孙三代人的生日都在同一天的概率约为27万分之一

2.小行星撞击地球的概率保守推测是200万分之一

3.生出全男或全女四胞胎的概率约为352万分之一

悖论3：三个枪手

描述：三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用枪进行一次决斗。A的命中率是30％，B比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是C，他从不失误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：A先开枪，B第二，C最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么A第一枪应该怎么打？谁活下来的概率最大？

论证：每个人的目标都是活下来，为了目标寻找最好的策略。以下开始分人讨论

A：

• 若A开枪射杀了B，则下个开枪是C，C会100%射杀A，这不是一个好策略
• 若A开枪射杀了C，则下一轮B会有50%的几率杀掉自己
• 若A开枪未打中，则下一轮可以坐山观虎斗，所以A最好的策略看似是故意打空枪更好一些

B：

• 若A已经将C射杀，此时B与A互相射击，B的生存率高于A
• B只能选择射杀C，因为只要C活着，都会优先射杀B

C：

• 先消除威胁大的B，然后再杀掉A，只要自己有开2枪的机会，直接获胜

结论：需求太复杂，暂未实现生存概率计算😭，欢迎补充悖论3的代码论证过程

作者：京东保险 王苑沣

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