魔兽的护甲

魔兽及Dota的热度过去数年了，但我仍然觉得它是最经典游戏之一。为情怀补票了重制版~

心火骑士打不动
亡灵全靠一个球
...

为控制变量，暂抛开实战中的各种复杂因素，单从护甲这个属性本身来看看它对攻击防御的影响

护甲伤害计算

魔兽中，每一点护甲相当于6%的0护甲最大生命值，这里说的是“兑换”的关系，1000血，1护甲，相当于1060血，0护甲；1000血，5点甲的时候，+1护甲并不能代表1060血5点甲
基于这个定义，我们按给出血量兑换公式：

H1 = H0 * (1 + 0.06 * n)

其中 H0 是原始生命值，H1是将n点护甲兑换成生命值后的0护甲生命值

那么护甲对伤害减少了多少呢？根据血量公式，可以理解为，原本打出H0伤害就可以杀死这个单位，可是因为有了n点护甲，现在需要打出H1的伤害才能杀死它，那么伤害减免(比例)就是

Dr = (H1 - H0) / H1

带入血量兑换公式，化简得伤害减免公式：

Dr = n / (n + 100 / 6)

做出函数图像：

每个坐标点上标记了护甲值及其对应的伤害减免，打开游戏，验证一下伤害减免的公式对不 :D

护甲：1

护甲：2

护甲：4

护甲：6

护甲：7

护甲：9

可见，完全正确！

那么心火骑士真的强到打不动了吗？
给骑士升三防，加上圣骑士的三级光环，骑士就有5+6+6=17点甲（现在1.36.1版本的圣骑士虔诚光环是+2+4+6护甲了)
此时再加上心灵之火5点甲，高达22点甲，看看图

惊奇的发现，三防骑士踩着三级光环，心灵之火只给他减免了57%-50%=7%的伤害！
如果没有三级光环，心灵之火给三防骑士也只减免了9%！
护甲的伤害减免函数是增长率越来越低的，所以越在低护甲的时候增加护甲，伤害能减免的越多，性价比越高
问题来了，心火骑士强吗？强，但是还不够强，如果把这5点甲给憎恶(初始2点甲)，可以带来19%的伤害减免，比骑士升三防的效果还要好！
可在实战中，心火骑士为什么打不动，因为实战中有了心灵之火，就肯定有很多大师级牧师，牧师可以加血的，对这种高护甲的单位，牧师加的每一点血都更有“质量”，所以打不动。堆护甲同时又加血，牧师的技能真是相辅相成

闪避护符为啥被嫌弃呢？
比如一个英雄3点甲(伤害减免15%)，打到一个闪避护符，这个装备带来的伤害减免为(1 - 15%) - (1 - 15%)(1 - 15%) = 13%
相当于增加了3~4点护甲，效果也不差，同理如果英雄本身护甲越高，闪避护符效果越弱，那么它也就相当于一个普通的防御指环了，不如同等级的血牌。
实战中，跟防御指环一样，敌人是可以根据我方英雄的装备来决定是否攻击他的，英雄防御过高，敌人可以选择击杀我方的其他单位，所以提高防御的作用通常不大；并且这种防御型装备对打野怪练级效率几乎没有裨益。

另外，女妖的诅咒，增加33%的伤害减免，可是显著大于升三防的，神技啊！更加神技的是深渊魔王的吼，一级就-30%攻击力，相当于至少+7的护甲（单位本身护甲越高，就等效越多的护甲增加）

减甲

说完了加护甲，再来看看减护甲。

减护甲并不是线性兑换6%的血，不然就会减成负数的生命值，这太变态了，也不合理。举个例子，Dota 大鱼人点灯，16级鱼人减15点甲，6% * 15 = 90%，那么500血的单位50点攻击力就可以一下打死，
16级的鱼人远高于50点攻击力，近战兵500+血，0点甲，如果这时鱼人点灯了，可以一下普攻a死吗？不能。如果再出强袭这种减甲的装备，对方的血量被兑换为负数，小兵都是自动死亡？或者一碰就挂？显然不合理。
所以减甲的血量兑换不是线性的，而是指数递减的，即每减一点甲，血量少6%，但是是在之前兑换后的血量上再减6%：

H1 = H0 * (1 - 6%) ^ n

推导出伤害减免公式(负数，也就是伤害加成)：

Dr = (H * (1 - 6%) ^ n - H) / H * (1 - 6%) ^ n

化简，取绝对值，得：

Dr = 1 - 0.94 ^ n

做出图像：

进入游戏，验证一下~

护甲-2

护甲-3

护甲-4

完全正确！

公式是指数函数，容易得出，是单调递增且递增越来越慢的，也就是说减甲也是性价比越来越低的。

以公式和图像可知，最高性价比的护甲加减，就是0点甲附近。如果腐球打在1~2点甲的单位上，这个腐球就是MVP，哈哈！

减甲与加攻击力的兑换关系

先说结论，护甲减免的比例和攻击力加成的比例是不能直接等效的。
假如一个单位的护甲能减免20%的伤害，100点攻击力打上去，就是80点伤害，减掉这部分护甲，就能造成100点伤害；如果兑换成攻击力加成，需要125点攻击力，被护甲减免20%后，也能造成100点伤害，也就是说，20%的减甲等效于25%的护攻击力加成。
精灵之火-4护甲，施放在一个0护甲的单位(没有升防的远程兵，二本空军，大多都是0护甲)上，伤害加成22%，如果释放在2~3护甲的单位，加成18%~19%，按平均20%算，相当于熊的咆哮。

亡灵的球有多厉害？国内平台的1.27亡灵腐球-5护甲，至少相当于3级强击光环！

附：画图代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use('Qt5Agg')

# 定义 x 取值范围
x = np.arange(0, 23, 1)

# 加护甲公式
y = x / (x + 100 / 6)
# 显示坐标点的数值
for i, (x_i, y_i) in enumerate(zip(x, y)):
    plt.annotate("({}: {:.0f}%)".format(x_i, y_i * 100),
                 xy=(x_i, y_i), xytext=(5, -10),
                 textcoords='offset points', fontsize=6,
                 )
# 绘制函数图像
plt.plot(x, y, 'go-')

# 显示图像
plt.show()

x = np.arange(0, 16, 1)
# 减护甲公式
y = 1 - pow(0.94, x)

for i, (x_i, y_i) in enumerate(zip(x, y)):
    plt.annotate("({}: {:.0f}%)".format(x_i, y_i * 100),
                 xy=(x_i, y_i), xytext=(5, -10),
                 textcoords='offset points', fontsize=10,
                 )
plt.plot(x, y, 'ro-')
plt.show()