用 Python 打印 100000 以内的所有完全数

我们可以把这个题目，作为一个 Python 学习的练习：打印 为了在 100000 以内找到所有的完全数，可以使用 Python 编程语言，一步一步来实现这个需求。为了实现这个目标，首先需要理解完全数的概念，并编写一个函数来判断一个给定的数是否为完全数。然后，使用这个函数来遍历 1 到 100000 之间的每一个数，输出所有的完全数。

A. 分析步骤：

1. 理解完全数的概念。
2. 编写一个函数来判断一个数是否为完全数。
3. 使用这个函数遍历给定的范围，找到并打印所有的完全数。

1. 理解完全数的概念

完全数是一个正整数，它所有真因子的和等于它本身。例如，6 是完全数，因为 1、2、3 是它的真因子，并且 1 + 2 + 3 = 6。

2. 编写判断完全数的函数

下面的函数 is_perfect_number 接受一个整数 n 作为参数，返回一个布尔值，表示该数是否为完全数。

Step-by-step 代码实现：

1. 初始化和分解任务

    # 定义检查完全数的主函数
    def is_perfect_number(n):
        """
        判断一个数是否为完全数
        参数:
        n (int): 要检查的数
        返回:
        bool: 如果 n 是完全数，返回 True，否则返回 False
        """
        # 初始化因子和
        sum_of_divisors = 0
        
        # 遍历所有可能的因子
        for i in range(1, n):
            # 检查是否 i 是 n 的因子
            if n % i == 0:
                sum_of_divisors += i
        
        # 检查求和结果与 n 是否相等
        return sum_of_divisors == n

2. 遍历并打印 100000 以内的完全数

    # 定义主程序
    def main():
        """
        主函数，打印 100000 以内的所有完全数
        """
        # 设置范围上限
        upper_limit = 100000
        
        # 遍历范围内的所有数
        for num in range(1, upper_limit):
            # 检查是否为完全数
            if is_perfect_number(num):
                print(f"{num} 是一个完全数")
    
    # 调用主程序
    if __name__ == "__main__":
        main()
    

B. 检查和优化代码：

尽管以上代码可以基本完成任务，但为了提高效率，需要做一些优化。一个关键点是减少判断因子的循环次数。因为如果 a 是 b 的因子，那么 b/a 也是 n 的因子。因此，我们可以只遍历到 sqrt(n)，从而减少运行时间。

优化后的代码实现

import math

def is_perfect_number(n):
    """
    判断一个数是否为完全数
    参数:
    n (int): 要检查的数
    返回:
    bool: 如果 n 是完全数，返回 True，否则返回 False
    """
    if n < 2:
        return False
    
    sum_of_divisors = 1  # 初始化因子和，包括 1
    
    # 遍历到 sqrt(n) 就可以发现所有因子
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            sum_of_divisors += i
            if i != n // i:
                sum_of_divisors += n // i

    return sum_of_divisors == n

def main():
    """
    主函数，打印 100000 以内的所有完全数
    """
    upper_limit = 100000
    
    for num in range(1, upper_limit):
        if is_perfect_number(num):
            print(f"{num} 是一个完全数")

if __name__ == "__main__":
    main()

C. 扩展内容：

为了让代码更美观和可维护，进一步细化并说明每个部分的具体含义和做法。

is_perfect_number 函数解释：

1. 判断一个数字是否小于 2，如果是，返回 False，因为 1 不是完全数。
2. 初始化 sum_of_divisors = 1，包括 1 因为所有的数都包含 1 作为因子。

3. 遍历从 2 到 sqrt(n)，以找到所有可能的因子。

   • 如果 i 是 n 的因子，加入 i 到因子和。
   • 确认是否 i 的另一个因子也需要加入到因子和中。
4. 最后返回判断因子和是否等于数字本身。

main 函数详细解释：

1. 设置要检查的范围上限 upper_limit = 100000。
2. 使用 for 循环遍历 1 到 upper_limit。
3. 调用 is_perfect_number 函数检查数 num 是否为完全数，如果是，打印结果。

D. 扩展和进一步优化:

可以进一步通过并行计算减少运算时间。然而在 Python 中，常规的多线程往往受制于 " GIL ` (Global Interpreter Lock) 限制，因此，可以考虑使用多进程方式来实现并行计算。

使用多进程优化代码

import math
from multiprocessing import Pool

def is_perfect_number(n):
    if n < 2:
        return False
    
    sum_of_divisors = 1
    
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if n % i == 0:
            sum_of_divisors += i
            if i != n // i:
                sum_of_divisors += n // i

    return sum_of_divisors == n

def check_perfect_in_range(start, end):
    for num in range(start, end):
        if is_perfect_number(num):
            print(f"{num} 是一个完全数")

def main():
    upper_limit = 100000
    num_processes = 4   # 设定进程数量
    pool = Pool(num_processes)
    ranges = [(i, min(i + upper_limit // num_processes, upper_limit)) for i in range(1, upper_limit, upper_limit // num_processes)]
    
    pool.starmap(check_perfect_in_range, ranges)
    
    pool.close()
    pool.join()

if __name__ == "__main__":
    main()

此版代码结合了 Python multiprocessing 库，通过平行计算进一步提升计算效率。通过将范围分割为小段，并行处理所有段，显著减少单线程的执行时间。此方法特别适用于计算密集型和 I/O 密集型任务。
执行结果：

总结而言，通过对完全数概念的理解，以及有效 Python 代码实现，可以轻松打印 100000 以内的所有完全数。随着需求变化和问题规模扩大，加上平行计算优化，展现了 Python 强大的灵活性和处理效率。