基于马尔可夫链的状态转换，用概率模型预测股市走势

金融界普遍认同的一个观点是："过去的表现并不预示未来的结果"——这一警示出现在几乎所有金融免责声明中，有其充分的理由。然而，市场参与者始终在寻找能够解码市场行为的模式和规律。

如果市场确实具有记忆性，只是这种记忆极为短暂，会呈现怎样的特性？这正是马尔可夫链可以提供洞见的领域。

马尔可夫链的基本原理

马尔可夫链本质上是一个依据特定概率规则从一个状态转移至另一个状态的数学系统。其核心特征在于：系统的下一个状态仅依赖于当前状态，而非之前的状态序列。

这一概念可以通过天气预测模型进行类比说明：若今日晴朗，次日有80%的概率依然晴朗，20%的概率转为降雨；若今日降雨，次日有30%的概率转为晴朗，70%的概率继续降雨。

关键在于：明日天气的预测仅基于今日的天气状况，而非上周或上月的气象记录。

转移矩阵：状态转换的数学表达

上述概率关系可通过转移矩阵进行精确表达：

转移矩阵是马尔可夫链的完整定义，其中每行代表当前状态，每列代表潜在的下一状态，单元格数值表示相应转移的概率。

矩阵乘法与多步预测

转移矩阵的强大之处在于能够通过矩阵运算预测多步转移概率。例如，若需预测后天的状态分布，可将转移矩阵与自身相乘：

从结果可知，若今日晴朗，两天后晴朗的概率为70%，降雨概率为30%。

这一结果源自以下计算：

• 晴天→晴天→晴天的概率：0.8 × 0.8 = 0.64
• 晴天→雨天→晴天的概率：0.2 × 0.3 = 0.06
• 两天后晴天的总概率：0.64 + 0.06 = 0.70

对于n天后的预测，只需将转移矩阵提升至n次幂。

稳态分布的收敛性

当n值不断增大时，转移矩阵的幂运算会呈现一个显著特性：矩阵逐渐收敛至稳态分布，此时概率分布不再变化。以下是迭代过程的示例：

5次迭代后(P⁵)：

10次迭代后(P¹⁰)：

这揭示了马尔可夫链的一个深层特性：无论初始状态如何，经过足够长的时间，系统达到任一状态的概率趋于稳定——此例中，晴天概率约为60%，雨天概率约为40%。

这种状态称为马尔可夫链的稳态分布，代表系统的长期平衡状态。这一现象源于系统逐渐"遗忘"初始状态，初始条件的影响随每次转换而衰减，最终变得无关紧要。

从股市角度看，这表明市场可能存在自然平衡态。无论初始状态是牛市还是熊市，长期来看，状态分布可能收敛至可预测的模式，这对制定长期投资策略提供了重要参考。

马尔可夫无记忆性与市场假设

股票市场是一个受众多变量影响的复杂系统，包括经济指标、地缘政治事件和投资者心理等。然而，若从短期视角观察，市场的下一步走势是否主要受其当前状态影响？马尔可夫链正是为这一问题提供了一个引人深思的分析框架。

市场状态的量化定义

应用马尔可夫链于股市分析的首要步骤是定义"状态"。这些状态可包括：

• 大幅下跌 (↓↓)
• 小幅下跌 (↓)
• 横盘 (→)
• 小幅上涨 (↑)
• 大幅上涨 (↑↑)

在这一框架下，市场每日均处于上述状态之一，马尔可夫模型计算从当前状态转换至次日各可能状态的概率。

市场转移矩阵的构建与解读

马尔可夫链的核心是转移矩阵——一个展示各状态间转移概率的表格。例如：

解读此矩阵的方法相对直观：若今日市场呈现"大幅下跌"，则次日有15%的概率仍为"大幅下跌"，30%的概率转为"小幅下跌"，依此类推。

构建股市马尔可夫模型：实现方法

以下是使用Python构建股市马尔可夫链模型的详细步骤：

步骤1：环境配置

首先，安装并导入必要的库：

 importnumpyasnp  
 importpandasaspd  
 importmatplotlib.pyplotasplt  
 importseabornassns

步骤2：状态定义与转换

将连续的价格变动转换为离散状态是关键步骤：

 defcreate_states(prices, n_states=5):  
    """将连续的价格变化转换为离散状态"""  
    # 计算每日百分比变化  
    percent_change=prices.pct_change().dropna()  
      
    # 使用分位数将数据转换为离散状态  
    # 这会将数据分成大小相等的桶  
    try:  
        iflen(np.unique(percent_change.values)) <n_states:  
            # 如果唯一值不够，则使用常规分箱  
            states=pd.cut(percent_change.values, bins=n_states,   
                           labels=range(n_states), duplicates='drop')  
        else:  
            # 否则使用基于分位数的分箱以获得大小相等的组  
            states=pd.qcut(percent_change.values, q=n_states,   
                           labels=range(n_states), duplicates='drop')  
    exceptValueError:  
        # 如果上述方法失败，则使用备用方法  
        states=pd.cut(percent_change.values, bins=n_states,   
                       labels=range(n_states), duplicates='drop')  
      
    # 以 Series 形式返回，索引与百分比变化相同  
     returnpd.Series(states, index=percent_change.index).astype(int)

该函数实现了连续百分比变化向离散状态的转换，灵活地将数据分割为

n_states

个区间，每个区间包含近似相等数量的观测值：

• 示例(5个状态):- 状态0(大幅下跌): 表现最差的20%交易日- 状态1(小幅下跌): 次差的20%交易日- 状态2(横盘): 中间20%交易日- 状态3(小幅上涨): 次优的20%交易日- 状态4(大幅上涨): 表现最佳的20%交易日

步骤3：转移矩阵构建

转移矩阵构建过程包含以下关键步骤：

1. 输入验证if states.empty or len(states) < 2: return np.full((n_states, n_states), np.nan)- 检查输入数据是否为空或数据点过少- 无效输入时返回NaN填充的矩阵
2. 矩阵初始化matrix = np.zeros((n_states, n_states)) [[0. 0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0. 0.]]- 创建n_states×n_states的零矩阵- n_states=5时的矩阵形式：
3. 转移次数统计for (i, j) in zip(states[:-1], states[1:]): if pd.notna(i) and pd.notna(j): matrixint(i) += 1 [[5. 2. 0. 0. 1.] [1. 3. 2. 0. 0.] [0. 1. 4. 1. 0.] [0. 0. 3. 2. 1.] [1. 0. 0. 1. 3.]]- 遍历连续状态对(当前状态i，下一状态j)- 增加相应矩阵单元计数- 统计后的示例结果：

实际应用举例：

假设有10天的状态序列：

[0, 1, 1, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 3]

转移对将包括：

1. 0→1
2. 1→1
3. 1→2
4. 2→1
5. 1→0
6. 0→2
7. 2→2
8. 2→1
9. 1→3

原始计数矩阵(转换为概率前)为：

 起始/目标  0  1  2  3  
     0 [[0, 1, 1, 0]  (0→1和0→2各一次)  
     1  [1, 1, 1, 1]  (1→0, 1→1, 1→2, 1→3各一次)  
     2  [0, 2, 1, 0]  (2→1两次, 2→2一次)  
     3  [0, 0, 0, 0]] (没有从3开始的转移)

1. 概率计算row_sums = matrix.sum(axis=1, keepdims=True)return np.divide(matrix, row_sums, out=np.zeros_like(matrix), where=(row_sums != 0))- row_sums: 计算每个状态的总转移次数(行和)- keepdims=True: 保持二维形状以便广播运算- np.divide: 将计数转换为概率- out=np.zeros_like(matrix): 除法不能执行时返回零- where=(row_sums != 0): 仅对非零行执行除法

转移计数矩阵转换为概率的示例：

转移计数矩阵(原始)

        下一个状态  
        0   1   2   3   4  
 起始 0 [[2, 5, 1, 0, 0],  
     1   [1, 3, 2, 1, 0],  
     2   [0, 2, 4, 2, 0],  
     3   [0, 0, 3, 3, 1],  
     4   [1, 0, 0, 2, 4]]

转换为概率矩阵的步骤：

1. 计算行总和(每个状态的总转移次数):- 第0行: 2+5+1+0+0 = 8- 第1行: 1+3+2+1+0 = 7- 第2行: 0+2+4+2+0 = 8- 第3行: 0+0+3+3+1 = 7- 第4行: 1+0+0+2+4 = 7
2. 将计数除以对应行总和: 下一个状态 0 1 2 3 4 起始 0 [0.25, 0.63, 0.12, 0.00, 0.00], 1 [0.14, 0.43, 0.29, 0.14, 0.00], 2 [0.00, 0.25, 0.50, 0.25, 0.00], 3 [0.00, 0.00, 0.43, 0.43, 0.14], 4 [0.14, 0.00, 0.00, 0.29, 0.57]

步骤4：模型整合应用

以下是将上述函数应用于实际股票数据的方法：

 # 加载历史价格数据（使用示例股票）  
data=load_data_from_source("TICKER_SYMBOL")  
prices=data['Close']  

# 定义描述性状态标签  
state_labels= ["Big Drop", "Small Drop", "Neutral", "Small Rise", "Big Rise"]  
n_states=len(state_labels)  

# 从历史数据创建状态  
states_series=create_states(prices, n_states=n_states)  

# 构建转移矩阵  
trans_matrix=build_transition_matrix(states_series, n_states=n_states)  

# 获取当前状态（最近的）  
current_state_idx=states_series.iloc[-1]  
current_state=state_labels[current_state_idx]  

# 显示下一个状态的概率  
print(f"Current State: {current_state}")  
print("\nNext State Probabilities:")  
fori, stateinenumerate(state_labels):  
     print(f"- {state}: {trans_matrix[current_state_idx][i]:.2%}")

步骤5：结果可视化

可视化是解释结果的有效方法：

 defplot_transition_matrix(matrix, labels):  
    """创建转移矩阵的热图"""  
    plt.figure(figsize=(10, 8))  
    sns.heatmap(matrix, annot=True, cmap="YlGnBu", fmt=".2f",  
                xticklabels=labels, yticklabels=labels, cbar=True, vmin=0, vmax=1) # 确保颜色条合理  
    plt.title("Transition Probability Matrix")  
    plt.xlabel("Next State")  
    plt.ylabel("Current State")  
    plt.tight_layout()  
     plt.show()

步骤6：长期趋势预测

计算市场长期平衡态(稳态分布)的方法：

 defcompute_steady_state(trans_matrix, iterations=20):  
    """通过矩阵幂迭代计算稳态"""  
    current_matrix=trans_matrix.copy()  
      
    # 将矩阵提高到更高的幂次  
    for_inrange(iterations):  
        current_matrix=np.dot(current_matrix, trans_matrix)  
      
    # 最终矩阵的任何一行都近似于稳态  
    returncurrent_matrix[0]  

# 获取稳态概率  
steady_state=compute_steady_state(trans_matrix)  

print("Long-term Market State Distribution:")  
forstate, probinzip(state_labels, steady_state):  
    print(f"- {state}: {prob:.2%}")  

结果:  
长期市场状态分布 (稳态):  
-大幅下跌    : 19.99%  
-小幅下跌  : 19.99%  
-横盘     : 19.99%  
-小幅上涨  : 19.99%  
 -大幅上涨    : 20.06%

实证分析：市场案例研究

以下是基于实际市场数据的马尔可夫模型应用示例：

 当前市场状态 (截至 2025-05-06):  
- 价格: $9.18  
- 日变化: -1.40%   
- 状态: 大幅下跌  
转移矩阵 (下一个状态的概率):  
                下一个大幅下跌  下一个小幅下跌  下一个横盘  下一个小幅上涨  下一个大幅上涨  
大幅下跌            0.1940          0.1940         0.1679         0.1530         0.2910  
小幅下跌          0.1940          0.1716         0.1903         0.2201         0.2239  
横盘             0.1679          0.2015         0.2052         0.2537         0.1716  
小幅上涨          0.2201          0.2164         0.2201         0.2276         0.1157  
大幅上涨            0.2230          0.2156         0.2156         0.1450         0.2007  
下一个状态的概率 (鉴于当前 = 大幅下跌):  
- 大幅下跌    : 19.40%  
- 小幅下跌  : 19.40%  
- 横盘     : 16.79%  
- 小幅上涨  : 15.30%  
 - 大幅上涨    : 29.10%

对这一案例的解读揭示了几个关键洞见：

1. 当前市场状况：该股票收盘价为9.18美元，较前日下跌1.40%，被模型分类为"大幅下跌"状态。
2. 状态转移概率：转移矩阵展示了从任一状态转移至其他状态的历史概率分布。例如，在"小幅上涨"后，次日再现"小幅上涨"的概率为22.76%。
3. 短期预测：基于当前的"大幅下跌"状态，转移矩阵的第一行显示次日状态分布。值得注意的是，最可能的次日状态实际是"大幅上涨"(29.10%)，这一反向走势的可能性高于其他任何单一状态。

该模型提供的是概率分布而非确定性预测。虽然大幅上涨的单一概率接近30%，但综合考虑，负面走势的总体概率(大幅下跌+小幅下跌)约为39%，也具有相当的显著性。

这种基于概率的视角有助于投资者建立更为现实的预期，并据此调整仓位规模或风险对冲策略。尽管这些概率不能提供确定性保证，但它们为决策提供了数据驱动的框架和参考。

模型有效性评估

马尔可夫链模型的价值不在于精确预测次日股价，这在金融市场中几乎不可能实现，而在于提供一个概率框架，帮助理解市场行为模式。

该方法的核心价值体现在：

1. 风险评估 - 基于当前状态评估极端波动的概率
2. 模式识别 - 判断市场行为是否符合历史概率分布
3. 策略制定 - 构建考虑状态依赖特性的交易系统

方法局限性

通过理解这些局限性，投资者可以更加谨慎地应用模型结果，并将其作为多元决策框架中的一个组成部分，而非唯一依据。

• 市场本身在不断演化，转移概率可能随时间变化
• 外部冲击(如重大公共卫生事件)可能导致历史模式失效
• 状态定义和时间尺度的选择会对结果产生显著影响
• "无记忆性"假设可能过于简化复杂的市场动态特性

通过理解这些局限性，投资者可以更加谨慎地应用模型结果，并将其作为多元决策框架中的一个组成部分，而非唯一依据。

总结

基于马尔可夫链的股市状态转换模型，为我们提供了一个独特的概率视角来审视市场的短期波动与长期趋势。通过将连续的价格变动离散化为特定状态，并构建状态间的转移概率矩阵，该模型能够量化市场从一种状态迁移到另一种状态的可能性。其核心优势在于揭示了市场在特定条件下的行为模式，例如，在经历“大幅下跌”后，次日出现各种状态的概率分布。

尽管马尔可夫链的“无记忆性”假设简化了复杂的市场动态，使其无法捕捉所有影响因素，但它依然是一个有价值的分析工具。它可以帮助投资者评估短期风险，识别潜在的市场模式，并为交易策略的制定提供数据支持。例如，通过计算稳态分布，可以洞察市场在长期内可能趋于的平衡状态，这对于长期资产配置具有一定的参考意义。

然而，重要的是要认识到，马尔可夫模型并非预测水晶球。其输出的是概率而非确定性结果，且模型的有效性高度依赖于历史数据的质量、状态定义的合理性以及市场环境的相对稳定性。外部冲击、市场结构的演变都可能影响模型的准确性。此外，模型的局限性也不容忽视，例如对极端事件的敏感性、状态定义的主观性等。因此，投资者在使用马尔可夫链模型时，应结合其他分析工具和市场信息，以形成更为全面的决策依据。

在未来的研究中，可以考虑将马尔可夫链与其他机器学习方法结合，探索更复杂的市场动态。此外，随着数据科学和人工智能技术的发展，基于大数据的实时分析和预测将为金融市场提供更多的洞见和机会。通过不断完善模型和方法，我们有望更深入地理解市场行为，为投资决策提供更为可靠的支持。

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