由函数解析式给出函数性质

前情概要

按理说，在高三数学的学习中，我们不断的出错，不停的改错，也在不停的进步，更为重要的是，我们的数学素养要跟着提升才是 . 比如通过函数的学习，我们应该有这样的共识，题目一旦给定函数的图象，我们从图象就能完整解读这个函数的所有性质，换言之，这是将函数的性质以形的形式给出来了；那么题目一旦给定解析式，我们从解析式也能完整解读这个函数的所有性质[只是没有从形上研究那么直接和直观，费点事我们也一定能研究出来]，换言之，这是将函数的性质以数的形式给出来了；但我们往往想不到从解析式入手分析研究函数的性质 .

典例剖析

:warning: 借助函数的解析式给出函数的定义域、单调性、奇偶性等

<span class="no-marker">No.1</span>、【榆林模拟】函数 $f(x)$$=$$\ln\cfrac{1+x}{1-x}$ $+$ $\sin x$ ，则不等式 $f(a-2)+f(a^2-4)<0$的解集是<span class="xzkh">【$\qquad$】</span>

<div class="XZXX">$A.(\sqrt{3},2)$ $B.(-3,2)$ $C.(1,2)$ $D.(\sqrt{3},\sqrt{5})$</div>

分析：这类题目往往需要取得符号 $f$，而在此之前，需要转化为 $f(M)$<$f(N)$ 或 $f(M)>f(N)$ 的形式，然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令 $\cfrac{1+x}{1-x}>0$，解得定义域 $(-1，1)$；

再求奇偶性，由于 $f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx$，$f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx$，

所以 $f(-x)+f(x)=0$，故函数为奇函数；最后分析单调性，

法一，基本函数法，令 $g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})$，由于 $u=-1-\cfrac{2}{x-1}$为增函数，

所以函数 $g(x)$为增函数，故函数 $f(x)=g(x)+sinx$为 $(-1，1)$上的增函数，

法二，导数法，$f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0$，故函数 $f(x)$为 $(-1，1)$上的增函数，

到此需要的性质基本备齐了[定义域，单调性，奇偶性]，

由 $f(a-2)+f(a^2-4)<0$，

变换得到 $f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)$，

由定义域和单调性得到以下不等式组：

$\begin{cases}-1 < a-2 < 1\\-1< a^2-4 < 1\\a-2 < 4-a^2\end{cases}$.

解得 $\sqrt{3}< a <2$，故选 $A$ .

<span class="no-marker">No.2</span>、【2019高三理科数学第二次月考第9题】【函数性质的综合应用】函数 $f(x)=\ln(|x|-1)$$-log_{0.5}(x^2+1)$，则使得不等式 $f(x)-f(2x-1)<0$成立的 $x$的取值范围是<span class="xzkh">【$\qquad$】</span>

<div class="XZXX" >$A.(1，+\infty)$ $B.(-\infty，-\cfrac{1}{3})$ $C.(-\infty，-\cfrac{1}{3})\cup (1，+\infty)$ $D.(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$</div>

分析：由 $|x|-1>0$ 得到定义域 $(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$；

由于 $y=\ln(|x|-1)$ 为偶函数，$y=-log_{0.5}(x^2+1)$ 为偶函数，【两个组成部分】所以 $f(x)$为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑 $x>1$的情形，

由于 $x>1$ 时 $f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)$，

其中 $y=\ln(x-1)$ 在区间 $(1，+\infty)$ 上单调递增，$y=log_{0.5}(x^2+1)$ 在区间 $(1，+\infty)$ 上单调递减，

故 $f(x)=\ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)$ 区间 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知 $(-\infty，-1)$上单调递减，

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由不等式 $f(x)-f(2x-1)<0$ 等价于 $f(|x|)<f(|2x-1|)$，其在区间 $(1，+\infty)$ 上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$

上式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$ 或 $x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到 $x<-\cfrac{1}{3}$或 $x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$或 $x>1$，故选 $D$ .

:warning: 借助函数的解析式给出函数的对称性等

<span class="no-marker">No.3</span>、【2025届高三数学训练题】已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_9$$=$$\cfrac{3\pi}{8}$，设函数 $f(x)$$=$$(4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)$$\sin$$x$$+$$\cos2x$$+$$2$，记 $y_n$$=$$f(a_n)$，则数列 $\{y_{n}\}$ 的前 $17$ 项之和 $S_{17}$ 为 <span class="xzkh">【$\qquad$】</span>

<div class="XZXX">$A.9$ $B.17$ $C.26$ $D.34$</div>

解：首先化简函数，$f(x)$$=$$(4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)$$\sin x$$+$$\cos2x$$+$$2$

$=$$2(\cos^2\cfrac{x}{2}-1)$$\sin x$$+$$\cos2x$$+$$2$$=$$2\cos x$$\cdot$$\sin x$$+$$\cos2x$$+$$2$

$=$$\sin2x$$+$$\cos2x$$+$$2$$=$$\sqrt{2}$$\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})$$+$$2$，

由于函数 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k\pi,0)$，$k\in Z$，则函数 $f(x)=$$\sqrt{2}$$\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})$$+$$2$ 的对称中心为 $(\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{8},2)$，$k\in Z$，即 $(\cfrac{3\pi}{8},2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个对称中心¹，即 $f(\cfrac{3\pi}{8})=2$，也即就是 $f(\cfrac{3\pi}{8})=f(a_9)=y_{9}=2$，

再由 $(\cfrac{3\pi}{8},2)$ 是函数 $f(x)$ 的一个对称中心，可知函数 $f(x)$ 必然满足条件 $f(x)+f(\cfrac{6\pi}{8}-x)=4$，

又由于给定数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_9$$=$$\cfrac{3\pi}{8}$，则 $a_1+a_{17}=2a_{9}=\cfrac{6\pi}{8}$，$a_{17}=\cfrac{6\pi}{8}-a_{1}$

故有 $f(a_1)+f(a_{17})=4$，同理 $f(a_2)+f(a_{16})=4$， $f(a_3)+f(a_{15})=4$，$\cdots$，

即 $y_1+y_{17}=4$，$y_2+y_{16}=4$，$y_3+y_{15}=4$，$\cdots$，

则 $S_{17}=(y_1+y_{17})+(y_2+y_{16})+\cdots+y_{9}$

$=[f(a_1)+f(a_{17})]+[f(a_2)+f(a_{16})]+\cdots+f(a_9)=8\times4+2=34$，故选 $D$ .

思维提升

• 当你明白具体函数的解析式也就是个承载函数各种性质的躯壳时，那么理解抽象函数类的问题就变得容易多了，也就是说有时候我们不一定需要那个躯壳出现，只要相应的性质现身就可以了，依托下面的案例，我们可以尝试理解这一点感悟，以提升我们的数学素养 .

<span class="no-marker">No.4</span>、已知函数 $f(x)$的定义域为 $|x|\leq 1$的补集，且在定义域上恒有 $f(-x)-f(x)=0$，若 $f(x)$在 $(1，+\infty)$上恒有 $f'(x)>0$成立，$f(x)-f(2x-1)<0$，求实数 $x$的取值范围。

分析：函数的定义域为 $|x|>1$，为偶函数，且在 $(1，+\infty)$上单调递增，

故由 $f(x)-f(2x-1)<0$，等价转化为 $f(|x|)< f(|2x-1|)$，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

$\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.$ 上式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.$

解①得到，$x<-1$ 或 $x>1$；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到 $x<\cfrac{1}{3}$或 $x>1$；

二者求交集得到，$x<-1$或 $x>1$，

即实数 $x$的取值范围是 $(-\infty，-1)\cup(1，+\infty)$。

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1. 由上述计算可知，函数 $f(x)$ 的对称中心有无穷多个，但此处我们只使用其中一个 $(\cfrac{3\pi}{8},2)$，目的是和已知的条件 $a_9$ 建立关联。本题目就是一个典型的由解析式给出函数性质的案例。 ↩