动态的线面位置关系

前言

本博文适合有一定立体几何基础的学生自学使用。

典例剖析

【2024高一数学必修二训练题】如图，已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)，点 \(P\) 在面对角线 \(BC_1\) 上运动，则下列四个结论：① 三棱锥 \(A-D_1PC\) 的体积不变；② \(A_1P//\) 平面 \(ACD_1\)；③ \(DP\perp BC_1\)；④ 平面 \(PDB_1\perp\) 平面 \(ACD_1\) . 其中正确的序号为__________；①②④ ；

解析：由于容易发现 \(BC\_1//AD\_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC\_1\) 上运动时，点 \(P\) 到平面 \(AD\_1C\) 的距离应该是定值，再结合下底面 \(AD\_1C\) 的面积固定，则可知三棱锥 \(P-AD\_1C\) 的体积不变，即三棱锥 \(A-D\_1PC\) 的体积不变，故①正确；

证明②的正确的思路比较多：其一，连接\(A\_1B\)，\(A\_1C\_1\)，则容易知道平面 \(AD\_1C//\) 平面 \(A\_1BC\_1\)，故当点 \(P\) 在面对角线 \(BC\_1\) 上运动时，直线 \(A\_1P\subset\) 平面 \(BA\_1C\_1\)，故 \(A\_1P//\) 平面 \(ACD\_1\)；其二，特殊位置法，分别让点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C\_1\)，在这两个特殊位置时都可以说明 \(A\_1P//\) 平面 \(ACD\_1\)，这样猜想当点 \(P\) 移动到其他位置时，一定有 \(A\_1P//\) 平面 \(ACD\_1\)；其三，在平面 \(AD\_1C\) 中如何找这样的直线，过点 \(C\) 在平面 \(AD\_1C\) 中做 \(CV//A\_1P\)，连接 \(A\_1V\)，则四边形 \(A\_1PCV\) 是平行四边形，故一定有 \(A\_1P//\) 平面 \(ACD\_1\)；故 ②正确；

对于③，采用特殊位置法，当点 \(P\) 移动到点 \(B\) 和点 \(C\_1\)，\(DP\) 和 \(BC\_1\) 都是面对角线，如果再连接 \(C\_1D\)(或 \(BD\))，则 \(DP\) 和 \(BC\_1\) 的夹角为 \(60^{\circ}\)，故③错误；

对于④，我们已经积累了体对角线 \(B\_1D\perp\) 平面 \(AD\_1C\)，又 \(B\_1D\subset\) 平面 \(PDB\_1\)，则平面 \(PDB\_1\perp\) 平面 \(ACD\_1\)，故 ④正确，

综上所述， ①②④ 正确；