主要观点：

• 通常函数在某点可导则在该点连续，但若函数不连续则不可导，但通过引入广义函数（分布）或非标准分析中的超实数可处理不连续函数的求导问题。
• 以阶跃函数（Heaviside 阶跃函数）为例，其在(x = 0)处不连续，按常规求导方法无法得出结果，而通过非标准分析可得到其导数为狄拉克δ函数。
• 介绍了无限大、无限小的概念及相关性质，如无限大的数大于任何标准数，无限小的数可表示为(\frac{1}{N})（(N)为无限大）等。
• 用非标准函数（如非标准逻辑函数）来近似阶跃函数，其导数为狄拉克δ函数，通过不同(x)值的分析说明了导数在不同区域的表现。
• 还讨论了高阶导数，如二阶导数为拉普拉斯算子或磁偶极矩等。

关键信息：

• 阶跃函数定义：(H(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < 0, \ \frac{1}{2} & \text{if } x = 0, \ 1 & \text{if } x > 0. \end{cases})
• 非标准逻辑函数：(L(x) = \frac{1}{1 + e^{-N x}})
• 导数定义：对于函数(f)在点(a)的导数，(f'(a) := \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h})，或(f'(a) := \frac{f(a + \varepsilon) - f(a)}{\varepsilon})（(\varepsilon)为固定非零无限小）
• 无限大、无限小的性质及相关概念，如无限大的数(N)大于任何标准数，无限小的数(0)是唯一既标准又无限小的数等。

重要细节：

• 对于(x\neq0)的情况，通过分析(N\frac{a}{b})（(a,b)为标准互质整数）等，得出非标准逻辑函数的导数在(x)为正或负可感知（ appreciable ）时近似为(0)，即看起来平坦。
• 在(x = 0)处，导数为(\frac{N}{4})，体现了狄拉克δ函数“无限尖峰”的特性，且具体给出了高度为(\frac{N}{4})。
• 二阶导数为(N (\frac{N^2 e^{-N x}}{(e^{-N x} + 1)^2} - \frac{4 N^2 e^{-2N x}}{(e^{-N x} + 1)^3} + e^{-N x} (\frac{6 N^2 e^{-2N x}}{(e^{-N x} + 1)^4} - \frac{2 N^2 e^{-N x}}{(e^{-N x} + 1)^3})))，有时称为拉普拉斯算子或磁偶极矩。
• 提到相关视频、软件库及可处理无限小和无限大数的计算器，以及感谢 Euler、Cauchy、Mikhail Katz 等。