这篇文章主要介绍了 Fenwick 树（二进制索引树），包括其基本操作、构建、优化以及一些扩展应用等方面：

• 基本操作：

  • Update(i, v)：将数组 A 中索引 i 的元素加上 v，时间复杂度为 O(1)。
  • RangeQuery(i, j)：计算数组 A 中索引 [i, j] 范围内元素的和，普通数组实现时间复杂度为 O(N)，通过前缀和优化后可变为 O(1)，但更新前缀和会导致后续索引的前缀和出错。

• 构建优化：

  • 朴素方法是对数组 A 中每个元素进行 Update(i, A[i])，时间复杂度为 O(N log N)。
  • 更优的方法是从节点 1 开始，将节点值向上传播，时间复杂度为 O(N)。
• 更快的范围查询优化：通过在 RangeQuery(i, j) 中停止 Query(j) 一旦到达节点小于 i，可稍微加快查询速度，对于 N = 2^B 的情况，大约有 5%的速度提升。
• 前缀搜索：通过在 Fenwick 树的黄色树（二进制树）中从顶部节点开始向下走，根据左子树的和与随机数 s 的比较来确定索引，时间复杂度为 O(log N)，此操作较为 obscure。
• 范围更新：通过在 DA（A 的离散导数）上构建 Fenwick 树，可以实现范围更新和点查询操作，RangeUpdate(i, j, v) 只需改变 DA[i] 和 DA[j + 1]，时间复杂度为 O(log N)。
• 范围更新和范围查询：通过构建两个 Fenwick 树，一个处理 RangeUpdate，一个处理 RangeQuery，借助一些数学推导和技巧实现了范围更新和范围查询的操作，时间复杂度为 O(log N)。
• 其他扩展：Fenwick 树还有很多扩展应用，如返回范围内任意函数而不仅仅是和，文章未详细探讨性能和实现考虑因素，如与缓存的交互等，同时给出了用于 flash 卡片应用的 Fenwick 树库的可运行代码。

总的来说，Fenwick 树是一种高效的数据结构，具有多种实用操作和扩展能力，尽管其实现和原理可能有些复杂，但在某些情况下能提供很好的性能。