这是一篇关于数据几何和度量张量的系列文章的第二部分，主要内容总结如下：

• 引言：

  • 作者计划写一篇关于此主题的论文，但时间有限，决定以教程形式撰写本文。
  • 指出存在一个新兴的“数据几何”领域，与信息几何类似但未得到充分探索。

• 流形（Manifolds）和切空间（Tangent Spaces）：

  • 介绍流形假设，即现实世界中的高维数据集位于低维潜在流形上。
  • 定义光滑流形为局部与欧几里得空间同胚且具有光滑结构的拓扑空间。
  • 解释在流形的每个点上的切空间是该点处的向量空间，是流形在该点的局部线性近似。

• 度量张量（Metric tensor (g)）：

  • 度量张量是定义流形上切空间内积的张量场，用于计算距离和角度。
  • 以欧几里得空间的度量张量为例，说明其为单位矩阵，内积即为向量的点积。
  • 强调度量张量在不同点可以不同，反映流形的曲率和结构。

• 曲线（Curves）和测地线（Geodesics）：

  • 曲线是流形上的光滑路径，其长度通过积分沿曲线的无穷小距离（使用度量张量的内积）来计算。
  • 能量泛函与长度类似，但不包含平方根，在优化测地线时更方便。
  • 测地线是流形上两点之间的最短路径（局部），反映数据点之间的自然路径。
  • 可以通过优化能量泛函来找到测地线，从优化角度出发，所有能量泛函的临界点对应测地线。

• 缺失的度量张量：

  • 斯坦因得分（Stein score）是对数密度对数据的导数，可用于构建数据流形的度量张量。
  • 通过外积和逆运算等方法构造度量张量，使其在数据方向上收缩空间，且为黎曼度量张量。
  • 利用谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison formula）可以高效计算度量张量的逆。

• 在数据流形上优化测地线：

  • 使用离散化的曲线来找到数据流形上的测地线，通过最小化能量泛函来优化曲线参数。
  • 推导多元高斯分布的斯坦因得分，可视化测地线优化过程，展示路径如何根据数据的曲率弯曲。
  • 可视化能量景观，解释测地线为何遵循特定路径。

• 一些最终思考：

  • 提及度量张量在朗之万采样（Langevin sampling）等方面的应用，以及与扩散和基于得分的生成模型的深层联系。
  • 强调该度量张量的重要性和可探索的领域，与物理学也有密切联系。

总结来说，本文介绍了数据几何中的关键概念，如流形、切空间、度量张量和测地线等，并通过具体例子和可视化展示了如何构建和使用数据流形的度量张量，以及如何通过优化测地线来探索数据的几何结构。