主要观点：在多元微积分中，雅可比矩阵（Jacobian）、黑塞矩阵（Hessian）和梯度（Gradient）都与多变量函数相关，它们虽都与导数有关，但各有特点和用途。
关键信息：

• 梯度：是由标量值函数的偏导数组成的向量，用于衡量函数在某点的增长方向和最快速率，如(\nabla{f}(x, y, z) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial z} \\ \end{bmatrix})。
• 黑塞矩阵：是标量值函数梯度的导数，如(Hf(x, y) = \nabla{}^2f(x, y) = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[6pt] f_{yx} & f_{yy} \\[6pt] \end{bmatrix})，可用于二次近似和判断函数的极值等。
• 雅可比矩阵：是向量值函数所有一阶偏导数组成的矩阵，如(Jh(f(x,y), g(x,y)) = \begin{bmatrix} f\_x & f\_y \\[6pt] g\_x & g\_y \\[6pt] \end{bmatrix})，可用于局部线性化向量值函数。
  重要细节：
• 计算梯度时，需先对函数求关于各变量的偏导数，如(f(x,y)=5x^2 + 3xy + 3y^3)，(\frac{\partial f}{\partial x}=10x + 3y)，(\frac{\partial f}{\partial y}=3x + 9y^2)。
• 黑塞矩阵的行列式在寻找多变量函数的局部极值中起作用，如(det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & 3 \\[6pt] 3 & 18y \\[6pt] \end{bmatrix}\end{pmatrix}=180y - 9)。
• 雅可比矩阵的行列式可用于判断空间在变换中的收缩或膨胀幅度，如(det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 2xy & x^2 & 0 \\[6pt] 0 & -1 & 1 \\[6pt] 1 & 0 & 1 \\[6pt] \end{bmatrix}\end{pmatrix}=-2xy + x^2)。
• 文中提供了多个关于这些概念的学习资源，如Ask Ethan: What is A Scalar Field? - Forbes等。