在一个提供公平硬币 toss 游戏均等赔率的虚构赌场中，应投资多少资金？除 0 外的任何金额都可能导致晚上结束时破产。若想知道每次投掷应投资多少，应应用凯利准则，这是一种计算在一系列长期投注中为使财富增长最大化而应投资资本的最佳比例的方法。

此帖受Entropic Thoughts关于凯利准则的精彩系列启发。

为何是财富对数的期望值？

在现实世界中，投注的期望值 E[X]E[X] 没有意义。理论上，将所有资金押在微弱边缘可能值得，但实际上很可能会输，那时又用什么投资呢？
以一个简单的均等赔率游戏为例，每次投资一半资金，赢时获得 1.5 倍财富，输时仍有一半财富，期望值为 1，但实际上经过多次投注后会亏损。计算一系列投注中财富对数的期望值 E[log⁡(W)]，对于这些赔率和公平硬币，根据凯利准则，财富增长率为负，经过三次投掷后，大部分资本会损失。

将凯利准则应用于“Ship Investor”

通过“Ship Investor”游戏来展示凯利准则的力量，玩家是 17 世纪的富人，需投资不同的货船以最大化财富，每次有四种不同投资选择，需根据货船航线的风险确定最佳投资。
对于输赢情况明确的情况（大多数赌博如此），凯利准则有简化形式 f∗\=p−(1−p)Bf^* = p - \frac{(1 - p)}{B}，其中 f∗f^*是要投资的财富比例，BB 是获胜时获得的比例。
通过将“Ship Investor”游戏转录为 Python 脚本，创建多种投资者类型进行测试，发现平均而言，凯利投注者能获得巨大利润，但也有一些投资者会遭受重大损失，所以大多数人使用部分凯利准则，只投资凯利投注的一半或四分之一以降低风险。

推导赌博公式

从最大化对数财富的一般规则推导到特定赌博的投注规模公式，通过表达不同步骤的财富、用概率和次数表示输赢次数等步骤，最终得到赌博公式 f\=p−1−pBf = p - \frac{1 - p}{B}。若想了解更详细的数学解释，可参考相关帖子。

将凯利准则应用于二十一点

凯利准则在简单的二元结果场景中有效，也可用于更复杂的游戏如二十一点，二十一点的赢率随牌面情况而变化，通过模拟不同真数计数下的一万多手牌，确定不同投注比例的增长率，专业赌徒会根据真数计数调整投注，在高计数时多投注，低计数时少投注，但由于优势微弱，需要大量投注才能获得显著收益。计算二十一点的增长率时，需考虑三种可能结果：以 3:2 赔率获胜、以 1:1 赔率获胜或输掉投资。

为何不是每个人都因凯利准则而富有？

尽管凯利准则能有效优化增长率，但并非能将输的投注变成盈利，该准则对所用概率的变化非常敏感，必须精确才能使投资比例正确，所以常使用部分凯利准则，投资少于计算出的比例，因为在 0 到凯利投注之间的比例，增长率永远不会为负，投资更少不会导致亏钱。