这是一篇关于傅里叶数学的系列文章的一部分，将探索傅里叶分析的各个方面，包括圆的相关数学概念、欧拉公式、正弦余弦函数、复数与单位圆、正弦波（sinusoid）、傅里叶级数等内容：

• 系列内容概述：将从圆的相关数学概念开始，逐步引入欧拉公式等，最终介绍傅里叶级数，文中的动画和示例有助于理解相关内容。
• 圆（The Circle）：以圆心为(P(a,b))，半径为(r)的圆的方程((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2)为基础，当(a = 0)，(b = 0)，(r = 1)时为单位圆(x^2 + y^2 = 1)，圆具有对称性。
• 圆周率(\pi)：通常用(\pi)表示圆的周长与直径的比值，(\pi\approx3.14)，圆的周长(P = 2\pi r)，面积(A = \pi r^2)，(\pi)是无理数和超越数。
• 弧度（Radians）：弧度是测量角度的实际单位，将角度从度转换为弧度的算法是乘以(\pi)再除以(180)。
• 正弦和余弦（The sine and the cosine）：在单位圆中定义(\sin)和(\cos)，(\sin)是单位圆上点的(y)坐标，(\cos)是(x)坐标，它们是周期为(2\pi)的周期函数，且(\cos)领先(\sin) (\frac{\pi}{2})，(\cos)是偶函数，(\sin)是奇函数。
• 复数与单位圆（Complex Numbers and the Unit Circle）：在复平面中，圆上的点由(z = \cos(\theta) + i\sin(\theta))定义。
• 乘以(i)的意义（Multiplying with (i) means a rotation with (\frac{\pi}{2})）：乘以虚数单位(i)相当于在复平面上逆时针旋转(\frac{\pi}{2})。
• 欧拉公式（Euler’s formula）：(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x))，(e)是自然常数，(e^{ix})的导数性质表明它描述了一个圆，这与乘以(i)的旋转效果相关，可通过泰勒级数证明欧拉公式。
• 正弦波（The sinusoid）：正弦波是由(y(t) = A\sin(2\pi ft + \varphi) = A\sin(\omega t + \varphi))定义的曲线，(A)是振幅，(f)是普通频率，(\omega)是角频率，(\varphi)是相位偏移，(\sin)和(\cos)是正弦波的特殊情况。
• 复数正弦波（Sinusoids can be complex）：通过对正弦波的定义进行变形，得到复数正弦波(s(t)=Ae^{i(\omega t + \varphi)} = A\cos(\omega t + \varphi) + iA\sin(\omega t + \varphi))，它在实部和虚部表现出不同的正弦和余弦行为。
• 正弦波的抵消（Sinusoids can nullify themselves）：两个同相且振幅相同但频率相反的正弦波会相互抵消。
• 添加正弦波（Adding sinusoids leads to complexity）：添加多个正弦波会产生更复杂的图案。
• 傅里叶级数（Fourier Series）：是将周期函数展开为三角函数之和的数学过程，公式为(f(x)=A_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} [A_{n} \cos(\frac{2\pi nx}{P}) + B_{n} \sin(\frac{2\pi nx}{P})])，其中(A_{n})和(B_{n})是傅里叶系数，通过积分定义。
• 傅里叶级数的指数形式（Fourier Series in Exponential Form）：借助欧拉公式，傅里叶级数也可以表示为复数正弦波的和(f(x) = \sum_{n=-N}^{N} C_{n} e ^ {i2\pi \frac{n}{P}x})，(C_{n})有特定的定义和计算方式。

• 示例：

  • 方波的傅里叶级数（Example: The Fourier Series for the Box Function）：通过计算方波的傅里叶系数，得到方波的傅里叶级数近似公式，并通过动画展示增加项数对近似精度的影响。
  • 三角波的傅里叶级数（Example - The Fourier Series of the Triangle wave）：给出三角波的傅里叶级数分解公式，通过计算前几项展示其收敛情况，并讨论了负振幅的处理方式。
  • 锯齿波的傅里叶级数（Example - The Fourier Series of a Sawtooth Function）：给出锯齿波的傅里叶级数形式，通过动画展示增加项数对函数形状的影响。
• 傅里叶级数机械（The Fourier Series Machinery）：通过傅里叶级数机械可以看到各个频率的圆的运动来创建信号，展示了傅里叶级数的可视化效果。