这是一篇关于解决兰利偶然角问题的文章，通过在复平面上设置问题并使用代数方法来求解。

• 引言（Introduction）：

  • 兰利偶然角问题是初等几何中一个著名的难题，挑战是确定给定图中的角度(θ)。
  • 仅通过角度追逐难以取得进一步进展，尽管所有角度和似乎都合理，但(θ)的项相互抵消，无法确定其唯一值。
  • 可以通过在纸上用 protractor 构造图形或在计算机中使用三角学来近似求解，但不能证明精确值。
  • 文章旨在展示一种无需巧妙洞察力即可解决该问题的方法，该方法系统且可处理问题的不同变体，能给出精确答案。

• 在复平面上设置问题（Set the problem in the complex plane）：

  • 用复数表示点的位置来解决问题，先找到用复数轻松构造特定角度三角形的方法，利用圆心角是弦上角度的两倍这一几何结果。
  • 要构造具有特定角度(α)、(β)、(γ)的三角形，可想象画出其外接圆，使三个顶点在圆周上，那么三角形的角度就是弦上的角度，对应圆心角为其两倍。
  • 以单位圆上的点来表示三角形的顶点，例如设(A = 1)，(B = e^{2γi})，(C = e^{-2βi})。
  • 构造所需的点，先制作底部三角形(ABX)，选择(X = 1)，根据角度关系确定(A = t^{10})，(B = t^{-12})。
  • 制作第二个三角形(XDA)，设(x = 1)，(d = t^4)，(a = t^{-10})，然后通过缩放和旋转将其与第一个三角形组合。
  • 计算表示顶部三角形两边比值的复数(z = (X - E) / (D - E))，其模不重要，幅角就是所求角度。
  • 通过除以复数共轭(z)将(z)归一化为单位长度，得到(q = z / z)，其幅角是所求角度的两倍。
  • 总结了计算过程中定义的变量，通过 Python 代码演示了计算过程，但结果是近似的。

• 现在通过代数方法完成（Now do it all by algebra）：

  • 用代数方法进行相同的计算，避免近似，使用整数和有理数表示中间结果。
  • 找到(t)的最小多项式(t^{12} - t^6 + 1)，通过将(t)的高次幂替换为低次幂来限制多项式的度数。
  • 加法是对应系数相加，乘法可能生成高次项，通过替换(t^{12 + n} = t^{6 + n} - t^n)来降低度数。
  • 除法较复杂，对于形如(1 / x)（(x)为多项式）的计算，先找到(x)的最小多项式(P_x)，通过在(P_t)的其他根处求值来找到(P_x)的其他根，进而计算(1 / x)。
  • 对于复数共轭，(t^n)的共轭是(t^{-n})，通过在(t^{-1})处求值来计算多项式的共轭。
  • 展示了在 Python 中实现的多项式算术代码，通过计算得到最终结果(q = t^6)，从而得出所求角度(θ = 30°)，且计算无近似误差。

• 后续思考（Afterthoughts）：

  • 如果答案不优美，即(q)不是简单的单项式，而是复杂的多项式，说明角度不是 nice round number，需要用三角学计算。例如修改后的版本中角度不是 nice 值，(q)看起来很复杂，但答案仍然正确，只是需要将(q)转换回复数来计算角度。
  • 反思计算过程中发现所有中间值都是(t)的偶数次幂，本可以从(T = t^2)开始，将多项式的度数限制在小于 6，节省时间。
  • 讨论是否违反“禁止使用三角学”的规则，从字面上看没有计算正弦、余弦或正切，但从精神层面看，取决于对规则的理解。如果禁止三角学是为了得到精确答案，那么这种代数方法符合精神；如果是为了迫使解题者找到巧妙的构造方法，那么这种方法则违反了精神。但这种代数方法本身是有价值的，可在其他计算中重用，也与真正的数学相关。

• 脚注（Footnotes）：

  • 文中多处使用脚注对一些细节或可能引起疑惑的地方进行解释和说明。

总之，文章通过复平面和代数方法解决了兰利偶然角问题，展示了一种系统且精确的求解方法，并对相关问题进行了深入思考和讨论。