主要观点：

• 涉及大量数字时容易出错，如银行账号、条形码、机票号等，有方案可检测和纠正这些错误。
• 介绍了多种误差检测和纠错方案，如模运算方案、置换方案、非交换方案等。
• 不同方案在检测单错误和相邻数字换位错误方面效果不同，如航空公司机票采用模 7 方案，欧洲商品编号采用加权和模 10 方案等。
• 选择加权方案的最佳模数需考虑单错误和换位错误的检测情况，质数模数效果较好。
• 信用卡使用特定置换和模 10 运算的方案，能检测单错误和大部分换位错误。
• 引入第二个校验位可用于检测和纠正单错误，更多校验位可纠正更多错误，但会使数字变长。

关键信息和重要细节：

• 误差类型及相对频率：单错误 79.1%、相邻数字换位 10.2%等。
• 航空公司机票：10 位序列号加 1 位校验位，模 7 运算，单错误检测率 93.8%，相邻数字换位检测率 93.8%，模 9 时单错误检测率 98.0%但换位检测率 9.1%。
• 欧洲商品编号：EAN-8 和 EAN-13 格式，加权和模 10 方案，单错误检测率 100%，相邻数字换位检测率 88.9%。
• 国际标准书号（ISBN）：9 位码加 1 位校验位，加权模 11 方案，检测所有单错误和换位。
• 信用卡：IBM 开发方案，置换(\sigma=(0)(124875)(36)(9))，模 10 运算，单错误全检测，相邻数字换位检测率 97.8%。
• 纠错：引入第二个校验位可检测和纠正单错误，更多校验位可纠正更多错误，但数字变长。
• 作者信息：在剑桥 Perse 学校 U6 学习，2001 年希望攻读数学，2000 年夏天参与 Millennium Mathematics Project 并撰写此文，由 Nuffield Science Bursary Scheme 资助。