主要观点：编程语言通过类型系统以各种方式对数据建模，以 Lean 语言为例，其具有丰富的类型系统，包含函数类型（Pi 类型）、产品类型、和类型（归纳类型）、商类型等。数学对象存在于三层层次结构中，类型对其他项进行分类并规定其使用规则，#check命令可用于查询表达式的类型，避免罗素悖论有宇宙的概念，不同类型在各种实际应用中发挥作用。
关键信息：

• Lean 类型系统的四种基本类型及示例。
• 数学对象的三层层次结构（宇宙、类型、项）。
• #check命令的使用及示例。
• 不同类型的特点及示例，如函数类型（包括依赖和非依赖）、产品类型、和类型、商类型、依赖类型、差类型等。
• 不同类型在实际应用中的范畴，如函数类型在高阶函数等方面的应用，产品类型在配置记录等方面的应用，和类型在错误处理等方面的应用，商类型在模块化算术等方面的应用，差类型在编译时强制不变量等方面的应用。
  重要细节：
• 宇宙Type包含数学对象，Prop包含命题。
• 函数类型α → β表示从α到β的映射，可分为依赖和非依赖。
• 产品类型如Point和Person结构表示多个值的组合。
• 和类型如Shape归纳类型表示替代。
• 商类型通过等价关系定义，如Angle。
• 依赖类型允许类型依赖于值，如Vector和get_type。
• 差类型通过{x : A // P x}表示，如NonZero等。
• 实际应用中不同类型的具体作用，如函数类型在证明辅助中的应用等。