主要观点：

• 介绍了多项式相乘的方法，包括交叉相乘再合并系数，以及通过表格展示各项系数的计算方式，还提到了用图形方法进行多项式相乘。
• 定义了离散信号和系统，重点介绍了线性时不变（LTI）系统，以及通过将信号分解为缩放和移位的脉冲来描述系统对任意信号的响应，此过程称为卷积。
• 阐述了卷积运算的一些性质，如交换律等，以及在频域中的重要性质，即卷积的傅里叶变换等于其操作数的傅里叶变换的简单乘法，这使得卷积可以高效实现。

关键信息和重要细节：

• 多项式相乘时，可通过表格观察各项系数的组合，也可用图形方法，将一个多项式翻转后与另一个多项式对应项相乘再相加。
• 离散信号是有整数索引的有序数序列，离散系统是将输入信号映射到输出信号的函数，LTI 系统具有线性和时不变性。
• 信号可分解为缩放和移位的脉冲，LTI 系统对信号的响应可通过卷积计算，计算时一个输入信号会被翻转。
• 卷积运算具有多种代数性质，在频域中其傅里叶变换有重要性质，可利用 FFT 算法高效实现卷积。
• 多项式与信号在行为上的相似性并非偶然，多项式环与有限序列环同构，在数学中广泛应用，如普通生成函数和 Z 变换。

脚注信息：

• [[1]]：理论上，(P(x)=\sum_{i}c_ix^i)，但只关心非零系数，求和时不指定上下界，即表示对所有非零系数求和。
• [[2]]：作为一个有趣的练习，探索将两个数视为 10 的后续幂的多项式相乘的相同技术，最后要考虑进位的轻微复杂性，此博客文章有更多信息。
• [[3]]：多项式和信号在行为上的相似性很美妙，多项式加法和乘法构成的环与有限序列环同构，一些操作如“延迟”或“右移”可通过乘以(x)（若左移则(x)可为负）来模拟，此同构在数学中广泛应用，如普通生成函数和 Z 变换。