主要观点：

• 最初对为何使用椭圆曲线而非其他群（如怪兽群）用于 Diffie-Hellman 感到疑惑，后在研究生学习中找到答案。
• 介绍了群的概念，包括 Diffie-Hellman 所需的群元素、阶等，以及从私钥到公钥的映射等。
• 提到有限单群的分类，指出在分类过程中意识到私钥到公钥的映射是群同构，引发对 Diffie-Hellman 的思考。
• 引入范畴论，说明几乎所有数学对象都可视为范畴，以及范畴中的初始、终端对象等概念。
• 阐述群对象的概念，以解释为何“任何群都应可行”在 Diffie-Hellman 中不成立，需要更深入的群对象。
• 最终确定用于 Diffie-Hellman 的是代数簇范畴中的群对象，即椭圆曲线，且有限域 Diffie-Hellman 也可视为椭圆曲线 Diffie-Hellman。

关键信息：

• Diffie-Hellman 需要群，如(G)，元素(g\in G)，阶(p)等，通过私钥(s)计算公钥(p = g^s)，再与其他公钥计算共享密钥。
• 有限单群分类包括无限家族和 26 个孤立群，如怪兽群等。
• 范畴论中对象间有同态类(Hom)，范畴有初始、终端对象等，几乎所有数学对象都可视为范畴。
• 群对象通过同态描述群公理，如利用终端对象定义中性元素等。
• 用于 Diffie-Hellman 的是代数簇范畴中的群对象，即椭圆曲线，有限域 Diffie-Hellman 也可转化为椭圆曲线 Diffie-Hellman。

重要细节：

• 有限群的指数映射不一定是单射或满射，通过除以核可使其成为单射。
• 有限单群分类是 20 世纪数学的重要成果，分类时需考虑群同构。
• 范畴中对象不一定是集合，同态不一定是函数，局部小范畴中同态构成集合。
• 椭圆曲线通过(j)不变量分类，两个椭圆曲线同构当且仅当它们有相同的(j)不变量，且所有椭圆曲线的集合可视为一个代数簇。
• 特定曲线(Y^2 = X^3 - X^2)虽看起来像椭圆曲线但有奇点，其上除奇点外的点可描述为单个非零域元素，且点加法与域元素乘法相同，给出了乘法群，即有限域 Diffie-Hellman 可视为椭圆曲线 Diffie-Hellman。