主要观点：作者在几天内遇到两个相同的组合优化问题，决定研究其基础。通过研究了解到 Birkhoff 定理，尝试将原始组合问题转化为可微问题，并将约束优化问题转化为无约束问题。重点介绍了最小二分匹配问题、从离散到连续的转化、流形上的优化、双随机矩阵的流形以及流形上的一阶优化实验等内容。
关键信息：

• 介绍了视频中的对象跟踪和色谱数据中的峰值对齐这两个应用的组合优化问题。
• Birkhoff-von Neumann 定理指出双随机矩阵集的凸包是置换矩阵集。
• 可将分配问题改写为在 Birkhoff 多面体上的优化问题。
• 流形是局部平坦的欧几里得空间，用于在流形上进行优化。
• 给出了双随机矩阵流形上的投影和收缩算子的定义。
• 实现了基于torch的优化代码，进行了实验并取得较好效果。
  重要细节：
• 分配问题是最优运输问题的特殊情况，有已知的多项式时间算法。
• 优化代码基于torch并从mctorch借用部分代码，扩展实现双随机矩阵流形的优化。
• 实验中生成秩为 10 的成本矩阵，用 Munkres 算法得到成本下界，以随机双随机矩阵初始化 SGD 优化器，学习率为 2e-2，实验中优化差距能平稳收敛到 0，但存在一些边界恶化后又改善的罕见情况。
• 代码可在作者的 GitHub 仓库https://github.com/ocramz/assignment-riemann-opt找到，文中还给出了相关参考文献。