无需链式法则的最简单反向传播解释器

主要观点:神经网络通过反向传播学习预测,本文通过简单示例帮助建立对该概念的直觉,所学习的思想可用于更大的神经网络。先复习微积分以理解反向传播中的求导,如对于方程(y = x^3),求导后可计算(x)微小变化时(y)的变化。接着以简单的一到一网络和带隐藏层的网络为例,介绍如何计算预测值、成本函数、导数以及如何通过导数调整权重,避免权重调整过急导致的爆炸梯度问题,通过乘以学习率使权重逐渐趋于最优值以提高预测效果,且有意避免使用链式法则以更好地理解核心思想。
关键信息:

  • 微积分中求导用于反向传播,如(y = x^3)的导数为(\frac{dy}{dx} = 3x^2)。
  • 简单一到一网络中,输入(x = 2),权重(w = 4),目标输出(y = 10),预测公式(\hat{y} = x \times w),成本函数(\text{Cost} = \hat{y} - y)。
  • 带隐藏层的网络中,输入(x = 2),权重(w_1 = 4),(w_2 = 3),目标输出(y_{target} = 10),预测公式(\hat{y} = (x \cdot w_1) \cdot w_2),成本函数(\text{Cost} = \hat{y} - y_{target})。
  • 调整权重时,导数大的权重调整多,导数小的权重调整少,通过乘以学习率避免爆炸梯度问题。
    重要细节:
  • 对于(y = x^3),(x = 2)增加(0.01)时,(dy = 3(2)^2 \times 0.01 = 0.12),实际(y)变为(8.120601),接近估计值。
  • 增加(w_1)和(w_2)分别为(0.1)时,可观察到(\hat{y})的变化,且(w_2)对输出影响更大。
  • 计算机通过乘以学习率调整权重,避免权重突然变化导致成本波动。
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