Microfacet 模型的反射与折射

Microfacet 微平面模型是广泛应用的对rough surface建模的工具，基本上生产和科研里用到的那些耳熟能详的模型，blinn，ward，beckmann都属于microfacet的推导结果。基本思想也很简单，就是用很小的微平面的组合去模拟粗糙的物体表面。而这些微小的平面元则可以当做完美的反射或者折射表面。

理论上的Microfacet模型应该包含了实际的粗糙表面所有光学行为包括反射折射。不过实际上在production的渲染中应该是把镜面高光和漫反射分离--仅仅是为了方便调整。这里的讨论和总结只针对一般情况，既完整的BRDF表达式。

1.Mircrofacet distribution function

我们用一个关于法向量m的函数D来描述微平面的分布情况，而这个函数关于立体角的积分就等于物体的表面积，当然它肯定大于或者等于物体的宏观表面积：

分布函数D基本上决定了Microfacet模型BRDF的形状和性质，我们所说的Blinn, GGX 也就是这些分布的名称。

2. Shadowing-Masking function G

函数G是一个双向函数，也就是说:

G(i,o,m) = G(o,i,m)

实际上函数G对最终的BRDF形状影响很小，在重要性采样的时候一般也会忽略之，不过G还是必要的，主要为了表面反射和折射的能量守恒。

一般用到的G函数有beckmann推导的G：

3. BSDF的推导

我们把每个微平面的scattering行为看成完美镜面反射或者折射，然后对微平面m向量积分，就可以得到BSDF的表达式：

在G 和 D 的表达式都已知的情况下我们只要把fs用纯镜面的函数来表示就可以了，具体参考光学书籍里计算fresnel反射和fresnel折射的公式，有一点需要注意的就是这个积分是关于m向量的，而实际上BRDF或者BTDF函数都是关于出射光线方向向量的，所以这里需要做一个转换，也就是高数上说的计算雅克比行列式：

和

对于镜面反射，法向量就是出射和入射向量的半角向量，如下图：

可算出：

对于折射来说，由半角向量推导出出射向量会稍微复杂：

最后可以得到的行列式为：

代入那个积分的式子，可以得到BSDF表达式。

反射：

折射：

4.重要性采样

在采样Microfacet BSDF的时候，我们一般是按照D函数的形状去分布采样点，因为D导致了BSDF结果绝大部分的variance，而且BSDF表达式本身是由三个函数的乘积构成，按照它去重要性采样是不可能的。

具体采样的办法可以参考上一篇博文，采样得到半角向量m之后，再反推出出射向量。

5.结果比较

实际上各种BSDF在渲染中的差别没有那么大，调整参数都能出类似的效果，实际仪器测量BSDF的具体参数显然是最靠谱的模拟一种表面的方法，当然也有很多科研人员是这么干的，不过在production里显得不那么实际。

Phong:

Blinn:

GGX: