看《算法的乐趣》,试着用非递归穷举来解数独,看效率如何!
数独规则
数独游戏,经典的为9×9=81个单元格组成的九宫格,同时也形成了3×3=9个小九宫格,要求在81个小单元格中填入数字1~9,并且数字在每行每列及每个小九宫格中都不能重复。
数独技巧
直观法
候选数法
相关二十格:一个数字只与其所在行列及小九宫格的二十格相关
我的思路
精心设计了有效性判定函数,最多一次遍历81个小单元格就能做出方案的有效性判定。
同理设计了相关20格判定,一次0~9的循环就完成有效性判定。
用数组模拟堆栈,为搜索提供回溯信息。
利用对象具有map性质,来辅助判断方案的有效性,大大简化了算法。
方案设计与实现
只用了一个二维数组存储数独方案,一个一维数组作堆栈,一个布尔变量作回溯标识。
变量定义
var problem = [ //这是书上提到的难度10.7的题
[8,0,0,0,0,0,0,0,0],
[0,0,3,6,0,0,0,0,0],
[0,7,0,0,9,0,2,0,0],
[0,5,0,0,0,7,0,0,0],
[0,0,0,0,4,5,7,0,0],
[0,0,0,1,0,0,0,3,0],
[0,0,1,0,0,0,0,6,8],
[0,0,8,5,0,0,0,1,0],
[0,9,0,0,0,0,4,0,0]
]
var stack = [],flag = false;
方案有效性判定
充分利用了javascript对象的哈希特性,为了方便调试,判定有效时函数的返回值为0,无效时分三种情况,行冲突、列冲突、小九宫格冲突,分别返回1,2,3。前期判定用了它,后来增加了相关二十格判定,在找答案时这个函数就用不上了。
function checkValid(sudo){
let subSudo = {} //辅助变量,用来判定小九宫格是否冲突
for(let i = 0; i<9; i++){
let row = {}, col = {} //辅助变量,用来判定行、列是否冲突
for(let j = 0; j<9; j++){
let cur1 = sudo[i][j], cur2 = sudo[j][i] //一次内循环同时完成行列的判定
if(row[cur1]) //当前元素已经在行中出现,优化掉零的判断,key为0时值为0,不需要额外判断
return 1; //返回错误代码
else
row[cur1] = cur1 //当前元素未在行中出现,存入辅助变量中
if(col[cur2]) //列的判定与行类似,优化掉零的判断,key为0时值为0,不需要额外判断
return 2;
else
col[cur2] = cur2;
let key = Math.floor(i/3)+'-'+Math.floor(j/3) //为不同的小九宫格生成不同的key
if(subSudo[key]){ //小九宫格中已经有元素,优化掉零的判断,key为0时值为0,不需要额外判断
if(subSudo[key][cur1]) //对某一个小九宫格的判定与行类似
return 3
else
subSudo[key][cur1] = cur1
}else{ //这是某小九宫格中的第一个元素
subSudo[key] = {} //为小九宫格新建一个辅助变量,并将第一个元素存入其中
subSudo[key][cur1] = cur1
}
}
}
return 0; //程序能运行到这,说明方案有效
}
相关二十格判定
原理同整体判定,亮点在小九宫格的定位上。
function check20Grid(sudo,i,j){
let row = {}, col = {}, subSudo = {} //辅助变量
for(let k = 0; k < 9; k++){
let cur1 = sudo[i][k], cur2 = sudo[k][j]
if(cur1){ //当前元素已经在行中出现,优化掉零的判断,key为0时值为0,不需要额外判断
if(row[cur1])
return 1; //返回错误代码
else
row[cur1] = cur1 //当前元素未在行中出现,存入辅助变量中
}
if(cur2){ //列的判定与行类似,优化掉零的判断,key为0时值为0,不需要额外判断
if(col[cur2])
return 2;
else
col[cur2] = cur2;
}
//转化循环变量到小九宫格的坐标
let key = sudo[Math.floor(i/3)*3 + Math.floor(k/3)][Math.floor(j/3)*3+Math.floor(k%3)]
if(subSudo[key]) //九宫格判定与行类似,优化掉零的判断,key为0时值为0,不需要额外判断
return 3
else
subSudo[key] = key
}
return 0;
}
遍历求解
利用元素状态初值为零的元素即为待定的特性,并加上堆栈的辅助,没有再开辟额外的存储空间。
function findAnswer(){
for(let i = 0; i<9; i++){
for(let j = 0; j<9; ){
if(problem[i][j] === 0 || flag){ //当前位置为待定元素的首次处理或回溯到当前位置,两种情况看似不同,其实处理相同,自加1即可
flag = false;
let k = problem[i][j] + 1; //搜索向下一个合法值迈进
while(k<10){ //循环找到下一个合法值
problem[i][j] = k; //填值
if(check20Grid(problem,i,j) == 0){ //判定合法,相关二十格判定
stack.push([i,j++]) //存储回溯点,并步进
break;
}
k++;
}
if(k>9){ //当前位置找不到合法值,回溯
problem[i][j] = 0; //回溯前归零
let rt = stack.pop(); //堆栈中取回溯信息
if(!rt) //无解判断,返回0
return 0;
i=rt[0] //穿越
j=rt[1]
flag = true;
}
}else{ //当前位置数字为题目给定
j++;
}
}
}
return 1; //成功找到一组解
}
完整代码
代码托管在开源中国,其中的sudoku.js即数独解法。
https://git.oschina.net/zhoutk/test.git
答案
书上提到的难度为10.7的题目的答案,1秒内解决,效率还行。
[ [ 8, 1, 2, 7, 5, 3, 6, 4, 9 ],
[ 9, 4, 3, 6, 8, 2, 1, 7, 5 ],
[ 6, 7, 5, 4, 9, 1, 2, 8, 3 ],
[ 1, 5, 4, 2, 3, 7, 8, 9, 6 ],
[ 3, 6, 9, 8, 4, 5, 7, 2, 1 ],
[ 2, 8, 7, 1, 6, 9, 5, 3, 4 ],
[ 5, 2, 1, 9, 7, 4, 3, 6, 8 ],
[ 4, 3, 8, 5, 2, 6, 9, 1, 7 ],
[ 7, 9, 6, 3, 1, 8, 4, 5, 2 ] ]
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