数独求解（javascript实现）

看《算法的乐趣》，试着用非递归穷举来解数独，看效率如何！

数独规则

数独游戏，经典的为9×9=81个单元格组成的九宫格，同时也形成了3×3=9个小九宫格，要求在81个小单元格中填入数字1~9，并且数字在每行每列及每个小九宫格中都不能重复。

数独技巧

• 直观法

• 候选数法

• 相关二十格：一个数字只与其所在行列及小九宫格的二十格相关

我的思路

• 精心设计了有效性判定函数，最多一次遍历81个小单元格就能做出方案的有效性判定。

• 同理设计了相关20格判定，一次0~9的循环就完成有效性判定。

• 用数组模拟堆栈，为搜索提供回溯信息。

• 利用对象具有map性质，来辅助判断方案的有效性，大大简化了算法。

方案设计与实现

只用了一个二维数组存储数独方案，一个一维数组作堆栈，一个布尔变量作回溯标识。

变量定义

var problem = [                //这是书上提到的难度10.7的题
    [8,0,0,0,0,0,0,0,0],
    [0,0,3,6,0,0,0,0,0],
    [0,7,0,0,9,0,2,0,0],
    [0,5,0,0,0,7,0,0,0],
    [0,0,0,0,4,5,7,0,0],
    [0,0,0,1,0,0,0,3,0],
    [0,0,1,0,0,0,0,6,8],
    [0,0,8,5,0,0,0,1,0],
    [0,9,0,0,0,0,4,0,0]
]
var stack = [],flag = false;

方案有效性判定

充分利用了javascript对象的哈希特性，为了方便调试，判定有效时函数的返回值为0，无效时分三种情况，行冲突、列冲突、小九宫格冲突，分别返回1，2，3。前期判定用了它，后来增加了相关二十格判定，在找答案时这个函数就用不上了。

function checkValid(sudo){
    let subSudo = {}                        //辅助变量，用来判定小九宫格是否冲突
    for(let i = 0; i<9; i++){
        let row = {}, col = {}              //辅助变量，用来判定行、列是否冲突
        for(let j = 0; j<9; j++){
            let cur1 = sudo[i][j], cur2 = sudo[j][i]            //一次内循环同时完成行列的判定
            if(row[cur1])                    //当前元素已经在行中出现，优化掉零的判断，key为0时值为0，不需要额外判断
                return 1;                    //返回错误代码
            else
                row[cur1] = cur1            //当前元素未在行中出现，存入辅助变量中   
            if(col[cur2])                    //列的判定与行类似，优化掉零的判断，key为0时值为0，不需要额外判断
                return 2;
            else
                col[cur2] = cur2;
            let key = Math.floor(i/3)+'-'+Math.floor(j/3)        //为不同的小九宫格生成不同的key
            if(subSudo[key]){                 //小九宫格中已经有元素，优化掉零的判断，key为0时值为0，不需要额外判断
                if(subSudo[key][cur1])        //对某一个小九宫格的判定与行类似
                    return 3
                else
                    subSudo[key][cur1] = cur1
            }else{                            //这是某小九宫格中的第一个元素
                subSudo[key] = {}             //为小九宫格新建一个辅助变量，并将第一个元素存入其中
                subSudo[key][cur1] = cur1
            }                  
        }
    }
    return 0;                                //程序能运行到这，说明方案有效
}

相关二十格判定

原理同整体判定，亮点在小九宫格的定位上。

function check20Grid(sudo,i,j){                
    let row = {}, col = {}, subSudo = {}                //辅助变量
    for(let k = 0; k < 9; k++){
        let cur1 = sudo[i][k], cur2 = sudo[k][j]
        if(cur1){                                        //当前元素已经在行中出现，优化掉零的判断，key为0时值为0，不需要额外判断
            if(row[cur1])
                return 1;                                //返回错误代码
            else
                row[cur1] = cur1                        //当前元素未在行中出现，存入辅助变量中
        }
        if(cur2){                                        //列的判定与行类似，优化掉零的判断，key为0时值为0，不需要额外判断
            if(col[cur2])
                return 2;
            else
                col[cur2] = cur2;
        }
        //转化循环变量到小九宫格的坐标
        let key = sudo[Math.floor(i/3)*3 + Math.floor(k/3)][Math.floor(j/3)*3+Math.floor(k%3)]
        if(subSudo[key])                                //九宫格判定与行类似，优化掉零的判断，key为0时值为0，不需要额外判断
            return 3
        else
            subSudo[key] = key
    }
    return 0;
}

遍历求解

利用元素状态初值为零的元素即为待定的特性，并加上堆栈的辅助，没有再开辟额外的存储空间。

function findAnswer(){
    for(let i = 0; i<9; i++){
        for(let j = 0; j<9; ){
            if(problem[i][j] === 0 || flag){              //当前位置为待定元素的首次处理或回溯到当前位置，两种情况看似不同，其实处理相同，自加1即可
                flag = false;
                let k = problem[i][j] + 1;                //搜索向下一个合法值迈进
                while(k<10){                              //循环找到下一个合法值
                    problem[i][j] = k;                    //填值
                    if(check20Grid(problem,i,j) == 0){    //判定合法，相关二十格判定
                        stack.push([i,j++])               //存储回溯点，并步进
                        break;
                    }
                    k++;
                }
                if(k>9){                                  //当前位置找不到合法值，回溯
                    problem[i][j] = 0;                    //回溯前归零
                    let rt = stack.pop();                 //堆栈中取回溯信息
                    if(!rt)                               //无解判断，返回0
                        return 0;    
                    i=rt[0]                               //穿越
                    j=rt[1]
                    flag = true;
                }
            }else{                                        //当前位置数字为题目给定
                j++;
            }
        }
    }
    return 1;                                            //成功找到一组解
}

完整代码

代码托管在开源中国，其中的sudoku.js即数独解法。

https://git.oschina.net/zhoutk/test.git

答案

书上提到的难度为10.7的题目的答案，1秒内解决，效率还行。

[ [ 8, 1, 2, 7, 5, 3, 6, 4, 9 ],
  [ 9, 4, 3, 6, 8, 2, 1, 7, 5 ],
  [ 6, 7, 5, 4, 9, 1, 2, 8, 3 ],
  [ 1, 5, 4, 2, 3, 7, 8, 9, 6 ],
  [ 3, 6, 9, 8, 4, 5, 7, 2, 1 ],
  [ 2, 8, 7, 1, 6, 9, 5, 3, 4 ],
  [ 5, 2, 1, 9, 7, 4, 3, 6, 8 ],
  [ 4, 3, 8, 5, 2, 6, 9, 1, 7 ],
  [ 7, 9, 6, 3, 1, 8, 4, 5, 2 ] ]