我理解的数据结构（七）—— 堆和优先队列（Heap And PriorityQueue）

我理解的数据结构（七）—— 堆和优先队列（Heap And PriorityQueue）

一、堆

1.堆的基础

• 堆也是一颗树
• 堆最为主流的一种实现方式：二叉堆
• 二叉堆是一颗完全二叉树

2.完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
(通俗来说：完全二叉树不一定是满二叉树，当一层已满容纳不下新的节点时，新的一层从左至右来盛放新节点，缺失的节点一定在右侧)

最大堆：堆中某个节点的值总是不大于其父节点的值（相应的，可以定义最小堆）

3.用数组存储二叉堆

4.基础代码实现

这里的ArrayNew是我之前实现的数组：数组代码

public class Heap<E extends Comparable<E>> {

    private ArrayNew<E> data;

    public Heap(int capacity) {
        data = new ArrayNew<>(capacity);
    }

    public Heap() {
        data = new ArrayNew<>();
    }

    // 返回堆中的元素个数
    public int size() {
        return data.getSize();
    }

    // 堆中是否包含元素
    public boolean isEmpty() {
        return data.isEmpty();
    }

    // 父节点的索引
    private int parent(int index) {
        if (index == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent");
        }
        return (index - 1) / 2;
    }

    // 左子节点的索引
    private int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    // 右子节点的索引
    private int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

}

5.添加元素（sift up）

步骤：

1. 在最后一层的最后添加这个元素，如果是满树，则在新的一层最左端添加
2. 与其父节点做比较，如果父节点小于当前元素的节点，置换位置
3. 以此类推，直到比较至根节点

// 添加元素
public void add(E e) {
    data.addLast(e);
    siftUp(data.getSize() - 1);
}

// 上浮
private void siftUp(int index) {

    // 添加的元素大于父节点的元素
    while (index > 0 && data.get(index).compareTo(data.get(parent(index))) > 0) {
        data.swap(index, parent(index));
        index = parent(index);
    }
}

6.取出元素（sift down）

步骤：

1. 最后一个节点与根节点交换，取出末尾节点，这样整体树结构不会改变，只是位置不对
2. 根节点与子节点的元素做比较，如果比子节点的最大的节点元素小，则置换位置
3. 以此类推，直至比子节点的元素都大

// 查看堆中的最大值
public E findMax() {
    if (data.isEmpty()) {
        throw new IllegalArgumentException("can't find Max in empty heap");
    }

    return data.get(0);
}

// 取出堆中的最大值
public E extractMax() {
    E ret = data.get(0);

    data.swap(0, data.getSize() - 1);
    data.removeLast();
    siftDown(0);
    return ret;
}

// 下沉
private void siftDown(int index) {

    while (leftChild(index) < data.getSize()) { // 有子节点（左子节点没有越界）

        int j = leftChild(index);

        // 有右子节点，并且右节点元素大于左节点元素
        if (j + 1 < data.getSize() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
            j = j + 1;
        }

        // 此时，data[j]就是左右子节点的最大节点值

        if (data.get(j).compareTo(data.get(index)) <= 0) {
            break;
        }

        data.swap(index, j);
        index = j;
    }
}

7.Heapify和replace

• replace（取出堆中的最大元素，再放入一个新的元素）

  • 实现：可以先extractMax再add，但是这样会有两次O(logn)操作
  • 优化：可以将堆顶元素替换以后再siftDown，这样只有一次O(logn)操作

// 取出堆中的最大元素，并替换成元素e，重新siftDown
public E replace(E e) {
    E ret = data.get(0);
    data.set(0, e);
    siftDown(0);
    return ret;
}

• heapify（将任意数组整理成堆的形状）

  • 实现：将n个元素逐个插入到一个空堆中，算法复杂度是O(logn)

  • 优化：heapify（算法复杂度是O(n)）

    1. 将任意一个数组看成完全二叉树（尽管元素的位置不对）
    2. 找到最后一个非叶子节点（最后一个节点的父节点）
    3. 从最后一个非叶子节点倒着不断的对每个节点siftDown就可以了

// heapify
public Heap(E[] arr) {
    data = new ArrayNew<>(arr);
    for (int i = parent(data.getSize() - 1); i > 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

8. 复杂度分析

因为堆的取出和添加复杂度都是O(logn)，所以堆的性能是很高的。

操作	时间复杂度
add	O(logn)
extractMax	O(logn)

二、优先队列

1.优先队列基础

• 普通队列：先进先出，后进后出
• 优先队列：出队顺序和入队顺序无关，和优先级有关

2.队列接口

public interface Queue<E> {
    int getSize();
    boolean isEmpty();
    void enqueue(E e);
    E dequeue();
    // 查看队首元素
    E getFront();
}

3.基于堆的优先队列代码实现

public class priorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {

    Heap<E> data;

    public priorityQueue() {
        data = new Heap<>();
    }

    @Override
    public int getSize() {
        return data.size();
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return data.isEmpty();
    }

    @Override
    public void enqueue(E e) {
        data.add(e);
    }

    @Override
    public E dequeue() {
        return data.extractMax();
    }

    @Override
    public E getFront() {
        return data.findMax();
    }
}

4.LeetCode中有关优先队列的问题

347. 前K个高频元素

题目：347. 前K个高频元素

描述：给定一个非空的整数数组，返回其中出现频率前 k 高的元素。

例子：

示例 1:
输入: nums = [1,1,1,2,2,3], k = 2
输出: [1,2]

示例 2:
输入: nums = [1], k = 1
输出: [1]

解决代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.TreeMap;

// 只需要在`Solution`这个类中引入所需要的类即可
// 所有的类都可以在之前的博客中找到
public class Solution {

    private class Freq implements Comparable<Freq> {
        public int e, freq;

        public Freq(int e, int freq) {
            this.e = e;
            this.freq = freq;
        }

        @Override
        public int compareTo(Freq another) {
            if (this.freq < another.freq) {
                return 1;
            } else if (this.freq > another.freq) {
                return -1;
            } else {
                return 0;
            }
        }
    }

    public List<Integer> topKFrequent(int[] nums, int k) {

        TreeMap<Integer, Integer> map = new TreeMap<>();
        for (int num : nums) {
            if (map.containsKey(num)) {
                map.put(num, map.get(num) + 1);
            } else {
                map.put(num, 1);
            }
        }

        PriorityQueue<Freq> pq = new PriorityQueue<>();
        for (int key : map.keySet()) {
            if (pq.getSize() < k) {
                pq.enqueue(new Freq(key, map.get(key)));
            } else if (map.get(key) > pq.getFront().freq) {
                pq.dequeue();
                pq.enqueue(new Freq(key, map.get(key)));
            }
        }

        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        while (!pq.isEmpty()) {
            list.add(pq.dequeue().e);
        }
        return list;
    }

}