2.1-函数

2.1.1 函数简介

一，变量和函数的概念
1.函数：包含一些列逻辑运算的方法
2.因变量：函数的运算结果
3.自变量：函数体中可以改变的变量
如：I=220/R (R>0) ，I 为因变量，R 为自变量
4.函数的定义：y=f(x), x∊A

• 定义域：数集A
• 函数的值域：所有函数值构成的集合

5.定义域和值域通常用区间表示。区间端点的状态有三种：

• 开点：区间不包含此点，如 a>x>b，写做(a,b)
• 闭点：区间包含此点，如 a ≧ x ≧ b，写做[a,b]
• 无穷点：区间向端点一侧有无穷个元素，如 [a,+∞)

二，映射与函数
1.集合与集合之间也会存在对应关系。
如在二维平面上的点的所有x 轴的点位的集合A和所有y 轴点位的集合B ，两集合元素按照坐标法则成一对一对应关系。可记作：
B=f(A)
y=f(x)

• f：集合A 到集合B 的映射，可以记为 f: A→B，x→f(x)
• y：x 在映射f 规则下的象
• x：y 的原象
• A集合：映射f 的定义域
• B集合：f(A) 的值域
• A集合和B集合的关系：一一映射
• A集合元素和B集合元素的关系：一一对应
• 一一映射规则：A集合中的每个元素都必须与B 集合中的元素一一对应，B集合中可以多出一些元素与A 集合中的元素不对应

2.1.2 函数的表示方法和分段函数

一，函数的表示方法
1.列表法：用表格表示两个集合元素的对应关系
2.图像法：用图像表示两个集合元素的对应关系，如坐标图
3.解析法：用公式表示两个集合元素的对应关系，如y=f(x), x∊A

二，分段函数

1.定义：在不同定义域中，集合间有不同的映射规则。如：

2.1.3 函数的单调性

1.有如下场景：函数y=f(x),x∊A 上，有两个点A(x1,y1)、 B(x2,y2)

• Δx=x2-x1，Δx 表示自变量x 的改变量
• Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1，Δy 表示因变量y 的改变量

2.在函数的定义域A 中，可以再取一段自变量的区间M，M∊A，由此可以求得函数的增减性

• 函数y=f(x) 在区间M 上是增函数的情况：Δx=x2-x1>0, Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1>0
• 函数y=f(x) 在区间M 上是减函数的情况：Δx=x2-x1>0, Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1<0

3.函数在某个区间M 上具有单调性的情况：函数在某个区间M 上是为增函数或者减函数

2.1.4 函数的奇偶性

1.场景：函数y=f(x),x∊A

• 偶函数：f(x)=f(-x)
• 奇函数：f(x)=-f(x)

2.特点

• 偶函数：y 轴对称。
• 奇函数：原点对称。即以圆点为中心，原点一侧的值域是另一侧值域基于原点旋转180 度后的结果。