3.1-指数与指数函数

3.1.1 有理指数幂及其运算

一.整数指数
1.概念
示例： aⁿ=a*a*...*a

• aⁿ：a的n 次幂
• a：幂的底
• n：幂的指数

2.正指数运算的法则

二.分数指数
1.方根概念
示例：xⁿ=a (a∈R,n>1,n∈N+)，x=ⁿ√￣a

• x：a 的n 次方根
• n：根指数
• ⁿ√￣a：根式
• 开方运算：求a 的n 次方根的运算，也就是求x 的值。x也叫a 的n 次算数根

2.a的正负，n的奇偶，与次方根的关系

• a>0，n 为偶数时，次方根x 有两个，且互为相反数，即±ⁿ√￣a
• a<0，n 为偶数时，次方根x 不存在
• a>0，n 为奇数时，次方根x 有一个，为正数，即+ⁿ√￣a
• a<0，n 为奇数时，次方根x 有一个，为负数，即-ⁿ√￣a

3.根据n 次方根式的定义，根式具有以下性质

• (ⁿ√￣a)ⁿ=a
• n 为奇数时：ⁿ√￣aⁿ=a
• n 为偶数时：ⁿ√￣aⁿ=|a|

4.根据整数指数幂的运算法则，可以将其推广到分数指数幂。推理如下：
注：为书写方便，pow(a,n) 等于aⁿ；(ⁿ√￣a)ⁿ=pow(ⁿ√￣a,n)

• 由 pow(pow(a,n),m)=pow(a,n*m) 推理出 pow(pow(a,1/n),n)=pow(a,1/n*n)=pow(a,1)=a
• 因为 pow(ⁿ√￣a,n)，对比pow(pow(a,1/n),n)=a，可推理出ⁿ√￣a=pow(a,1/n)

5.分数指数的性质

• pow(a,1/n)=ⁿ√￣a, (a>0)
• pow(a,m/n)=pow(ⁿ√￣a,m), (a>0,m∈N+,且m/n 为最简分数)
• pow(a,-m/n)=pow(a,0-m/n)=pow(0,m/n)/pow(a,m/n)=1/pow(a,m/n), (a>0,m∈N+,且m/n 为最简分数)

6.整数指数幂和分数指数幂，都是有理指数幂，它们都有如下法则：

• pow(a,n+m)=pow(a,n)*pow(a,m)
• pow(pow(a,n),m)=pow(a,n*m)
• pow(a*b,n)=pow(a,n)*pow(b,n)

3.1.2 指数函数

注：为方便书写，用pow(a,x) 表示a 的x 次方
1.指数函数的一般式：y=pow(a,x),(x∈R,a>0,a≠1)，其中幂的底a 作常数，幂的指数x 作自变量
2.指数函数的一般式的性质

• 函数的值域为[0, ∞]，即y>0
• 函数图形与y 轴交于(0,1)
• a>1 时，函数为增函数
• 0<a<1 时，函数为减函数