3.2-对数与对数函数

3.2.1 对数及其运算

一，对数函数简介
1.之前说过，指数函数的一般式是：y=pow(a,x),(x∈R,a>0,a≠1)，这是以幂的指数x 为自变量，求常数a 的x 次方。
2.如果底数的n 次方y  已知，幂的指数x 未知。那么，以y 为自变量，底数为常量，求幂的指数x 的函数，就叫对数函数。
3.幂指数x在对数函数中，叫做以a 为底，y 的对数。如4²=16，2是以4为底，16 的对数。
4.对数函数的一般式为：y=logax,(a>0,a≠1)

• a：对数的底数
• x：真数

5.对数的性质

• 0和负数没有对数，因为底数默认大于0
• 1的对数为0，因为任何数的0 次方都是1
• 底数和真数相同时，对数为1，即logaa=1

二，常用对数
1.定义：以10为底的对数
2.简写方式：lgX，即log10X

四，自然对数
1.定义：以e 为底的对数
2.e 是一个无理数，其值是y=pow(x+1/x,x),x>0 的极限值
3.e 的函数为增函数，其值越大，增幅越小

五，用计算机语言js 表示log
1.Math.log(x)，计算的就是以自然对数为底，x 的对数
2.用Math.log() 可以求以常数a 为底，x 的对数：Math.log(a)/Math.log(x)
3.可自定义一个具有数学log 意义的函数。为何如此封装稍后详解。

function log(a,x){
    return Math.log(x)/Math.log(a);
}

4.计算机对于log 的计算可能会存在Float 类型数据的精度问题，如：

• log(10,100) 等于2，没问题
• log(10,1000) 等于2.9999999...，应该等于3

三，对数运算法则
注：接下来为书写方便，用log(a,x)表示数学意义上的log，即以a 为底，x 的对数
1.对数的积：log(a,m*n)=log(a,m)+log(a,n)
2.对数的商：log(a,m/n)=log(a,m)-log(a,n)
3.对数的幂：log(a,m*m*...*m)=log(a,m)+log(a,m)+...+log(a,m)=log(a,pow(m,n))=n*log(a,m)

四，换底公式
1.换底公式：log(a,b)=log(n,b)/log(n,a)
2.在科学技术中，常常以自然对数为底，做换底运算。如当前用js 封装好的log 函数。
3.换底公式的诱导：

y=log(a,x)
pow(a,y)=x
log(e,pow(a,y))=log(e,x)
y*log(e,a)=log(e,x)
y=log(e,x)/log(e,a)

3.2.2 对数函数与指数函数的关系

1.对数函数一般式：y=log(a,x),(a>0,a≠1,x>0)
2.指数函数一般式：y=pow(a,x),(a>0,a≠1,x∈R)
3.对数函数与指数函数互为反函数。表现为：

• 对数函数与指数函数的自变量和因变量互换
• 对数函数与指数函数的坐标图形会沿y=x 的直线图形镜像对称