2.3-圆的方程

2.3.1 圆的标准方程

1.以点C(a,b) 作为圆心，半径为r，画圆：

2.建立点M(x,y)，若点M 在圆上，它需要满足以下条件：
|CM|=r
3.转化为两点间的距离公式：
pow((x-a)²+(y-b)²,2)=r
4.将两边平方，便可得到圆的标准方程：
(x-a)²+(y-b)²=r²
注：如果点C 在原点上，圆的标准方程就是：
x²+y²=r²

2.3.2 圆的一般方程

1.把圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r² 展开，整理得：
x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0
2.提取其中的常数 D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²，调整方程：
x²+y²+Dx+Ey+F=0 ①
3.将其与二元二次方程做比较：
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 ②
会发现① 具有以下特点：

• x²、y² 的系数相等，且不为0
• 没有xy 这样的二次项

4.用上面的两个特点可以判断哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆。如：
x²+2y²+x+y=0 不是圆，因为 x²、y² 的系数不相等
x²+xy+y²+x+y=0 不是圆，因为有xy 项
5.接下来，再讨论一下具备以上两个特点的的二元二次方程：
对① 进行配方：
x²+y²+Dx+Ey+F=0
x²+Dx+(D/2)²-(D/2)² + y²+Ey+(E/2)²-(E/2)²+F=0
(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D/2)²+(E/2)²-F
(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4 ③

• 当(D²+E²-4F)>0 时，将③ 和圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r² 相比较，可知：

③的坐标图形是一个圆，圆心的点位是C(-D/2,-E/2)，半径是1/2*pow(D²+E²-4F)

• 当(D²+E²-4F)=0 时：

(x+D/2)²+(y+E/2)²=0
x+D/2=0
x=-D/2
y+E/2=0
y=-E/2
方程代表一个点(-D/2,-E/2)

• 当(D²+E²-4F)<0 时，方程无解

6.综上所述，圆的一般方程是：
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，(D²+E²-4F)>0
7.圆的标准方程和一般方程需要考虑的条件：

• 圆的标准方程 (x-a)²+(y-b)²=r² 需要考虑的条件：圆心位(a,b)，半径 r
• 圆的一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0 需要考虑的条件是三个系数D、E、F

2.3.3 直线与圆的位置关系

一，例1
建立一个圆、一条线
x²+y²=2 ①
y=x+b ②

解法1
直线与圆的位置关系：没有交点，一个交点(相切)，两个交点
将② 中的y 代入① 中：
x²+(x+b)²-2=0
x²+x²+2bx+b²-2=0
2x²+2bx+b²-2=0 ③
方程③ 的根的判别式是：
Δ=(2b)²-4*2(b²-2)
=4b²-8b²-16
=-4b²-16
=-4(b²-4)
=-4(b+2)(b-2)
由此可得到直线与圆的三种位置关系：

• -2<b<2 时：有两个交点
• b=-2 || b=2 时：有一个交点
• b<-2 || b>2 时：无交点

扩展：根的判别式
1.作用：判断方程实根个数和分布情况，了解系数的取值范围。
2.一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式是 b²-4ac，用delta Δ 表示
3.判别式的推理过程：
ax²+bx+c=0 (a≠0)
a(x²+bx/a)+c=0
a(x²+bx/a+(b/2a)²-(b/2a)²)+c=0
a((x+b/2a)²-(b/2a)²)-b²/4a+c=0
a(x+b/2a)²=b²/4a-c
a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a
(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²
因为a≠0，由平方根的意义可知，b²-4ac 决定了一元二次方程根的情况

解法二
直线与圆的位置关系还可以视之为圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的关系。
① 中的圆心位是C(0,0)
注：圆心位的一般公式是 C(-a,-b)
圆心C 到直线的距离是：d=|b|/pow(2,2)
注：点到直线距离的一般式 d=|Ax1+By1+C| / pow(A²+B²,2)
由此可得到直线与圆的三种位置关系

• b<r 时：有两个交点
• b=r 时：有一个交点
• b>r 时：无交点

二，例2
建立一个圆x²+y²=r²，求过圆上一点M(x0,y0) 的切线l 方程
解：
若x0、y0 不等于0，
可知直线OM 的斜率k=(0-x0)/(0-y0)=
OM的方程为y=(x0/y0)x
因为OM 和切线l 垂直，所以切线l 的斜率是直线OM 的斜率的相反数，即 -x0/y0
在切线上做点P(x,y)

点P(x,y)，结合点M(x0,y0)，可以得到切线方程：
y-y0=(-x0/y0)*(x-x0)
y0y-y0²=x0²-x0x
x0x+y0y=x0²+ y0²
因为点M(x0,y0) 在圆上，所以
x0²+y0²=r²
若x0=0 或y0=0，切线的方程就是：
x0²+y0²=r²

2.3.4 圆与圆的位置关系

设⨀o1 的半径为r1，设⨀o2 的半径为r2，两圆的圆心距为d
圆与圆的位置关系有以下几种情况：
1.相交：|r1-r2|<d<(r1+r2)
2.外切：(r1+r2)=d
3.内切：|r1-r2|=d
4.外离：(r1+r2)<d
5.内含：|r1-r2|>d