n 皇后问题(递归-暴力法+回溯法)

n皇后问题

在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不妨在同一行或同一列或同一斜线上。

1.思路

如图:a是一个合法方案,b不是合法。
这个问题如果采用组合数方式来枚举每一种情况(即从 n^2 个位置中选择 n 个位置),当 n 等于 8 时,就会有 54 502 232 种枚举方案。当 n 更大时，显然难以承受。
换个思路，如果把 n 列皇后所在的行号依次写出，就会是一个 1~n 的全排列(类比列是位置，行是数字，将数字填入位置)。对于图 a 来说的排列是 24135，对于图 b 是 35142。因此只需枚举 1~n 的全排列，从中选择符合条件的排列即可。
全排列实现
不符合条件的排列满足：|x - y| = |p[x] - p[y]|

2.代码-递归暴力

#include <cstdio> 
#include <cmath>

const int N = 30;

int p[N];
int n;
bool used[N];
int count;

void dfs(int u)
{
    if (u == n + 1)
    {
        bool flag = false;
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            for (int j = i + 1; j <= n; j ++)
                 if (abs(i - j) == abs(p[i] - p[j]))
                     flag = true;
        if (!flag)
            count ++;
        return;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if(!used[i])
        {
            p[u] = i;
            used[i] = true;
            dfs(u + 1);
            p[u] = 0;
            used[i] = false;
        }
    }
    
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    dfs(1);
    printf("%d\n", count);
    
    return 0;
}

3.代码-递归回溯

#include <cstdio> 
#include <cmath>

const int N = 30;

int p[N];
int n;
bool used[N];
int count;

void dfs(int u)
{
    if (u == n + 1) 
    {
        count ++;
        return;
    }
    
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)    //第i行 
    {
        
        if(!used[i])    //第i行没有皇后 
        {
            bool flag = false;    //false表示当前皇后不会和之前的皇后冲突 
            
            for (int pre = 1; pre < u; pre ++)    //遍历之前的皇后 
            {
                //判断第u列第i行的皇后与第pre列第p[pre]行的皇后是否冲突 
                if (abs(u - pre) == abs(i - p[pre]))  
                {
                    flag = true;    //冲突 
                    break;
                }
            }
        if (!flag)        //不冲突则把皇后放到第i行 
        {
            p[u] = i;    //令第u列的皇后行号为i 
            used[i] = true;        //第i行已被占用 
            dfs(u + 1);
            p[u] = 0;
            used[i] = false;
        }
        }    
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    dfs(1);
    printf("%d\n", count);
    
    return 0;
}

参考资料：《算法笔记》