梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent，GD）是一种常见的一阶（first-order）优化方法，是求解无约束优化问题最简单、最经典的方法之一。，在最优化、统计学以及机器学习等领域有着广泛的应用。

所谓的一阶方法就是仅使用目标函数的一阶导数，不利用其高阶导数。

那什么是无约束优化问题呢？举个例子，在一元函数法$f(x)$的图像中，求无约束最优化问题，即不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解函数$f(x)$的最小值。

1、场景假设

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。

假设这样一个场景：一个人需要从红色山顶得某处开始下山，尽快到达蓝色得山底。在下山之前他需要确认两件事：

1. 下山的方向
2. 下山的距离

按照梯度下降算法的思想，它将按如下操作达到最低点：

• 第一步，明确自己现在所处的位置
• 第二步，找到相对于该位置而言下降最快的方向（下山的方向）
• 第三步， 沿着第二步找到的方向走一小步（下山的距离），到达一个新的位置，此时的位置肯定比原来低
• 第四部， 回到第一步，重复执行这个过程，直到到达山底

这一过程形象的描述了梯度下降法求解无约束最优化问题的过程，下面我们将例子里的关键信息与梯度下降法中的关键信息对应起来：

• 山代表了需要优化的函数表达式；
• 山的最低点就是该函数的最优值，也就是我们的目标；
• 每次下山的距离代表后面要解释的学习率；
• 寻找方向利用的信息即为样本数据；
• 下降最快的方向则与函数表达式梯度的方向有关

  之所以要寻找最陡峭的方向，是为了满足最快到达山底的限制条件；

• 某处---代表了我们给优化函数设置的初始值，算法后面正是利用这个初始值进行不断的迭代求出最优解。

2、局部最优问题

当然你可能会说，上图不是有不同的路径吗？是的，因为上图并不是标准的凸函数，往往不能找到最小值，只能找到局部极小值。所以你可以用不同的初始位置进行梯度下降，来寻找更小的极小值点，当然如果损失函数是凸函数就没必要了，开开心心的进行梯度下降吧！比如下面这种：

梯度下降法有可能会陷入局部最小值

3、学习率的重要性

看到这里大家应该会发现这样一个问题：在选择每次行动的距离时，如果所选择的距离过大，则有可能偏离最陡峭的方向，甚至已经到达了最低点却没有停下来，从而跨过最低点而不自知，一直无法到达山底；如果距离过小，则需要频繁寻找最陡峭的方向，会非常耗时。要知道，每次寻找最陡峭的方向是非常复杂的！同样的，梯度下降法也会面临这个问题，因此需要我们找到最佳的学习率，在不偏离方向的同时耗时最短。

4、梯度

在下山问题中，我们人可以通过视觉或者其他外部感官上的触觉来感知东南西北不同方向的坡度，然后选择最陡的方向，但在函数求最小值问题中，计算机可没有视觉等外部感官，那么怎么来判断那个方向最陡呢？

还记得大学的时候学过（其实高中也学过）的导数知识吗？导数定义如下：

$$ {f}'(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x} $$

当然，定义不是关键，关键在于它的的几何意义：函数$f(x)$在$x={{x}_{0}}$处的导数表示在这一点上的切线斜率，换句话说，函数$f(x)$在${{x}_{0}}$处的导数代表着$f(x)$在$x={{x}_{0}}$附近的变化率，也就是导数可以衡量$x$取值在${{x}_{0}}$附近时$f(x)$随$x$变化的快慢。$\left| {f}'(x) \right|$越大，$f(x)$随x变化得越快，函数在图像上表现得越陡峭。

导数解决了一元函数中函数值随自变量变化快慢的问题，但对于多元函数，导数就力有未逮了，这时候我们需要用到偏导数的知识：

$$ \begin{align} \frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})&=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}},\ldots ,xi+\Delta x,\ldots ,{{x}_{n}})-f({{x}_{0}},\ldots ,{{x}_{i}},\ldots ,{{x}_{n}})}{\Delta x} \end{align} $$

导数与偏导数本质是一致的，但偏导可以衡量除$x$以外其他自变量保持不变时，函数值随$x_j$所在维度变化快慢。分别对不同维度求偏导，我们就可以知道函数$f({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})$在不同维度（方向）变化快慢，从而综合各个方向，获取一个最佳的方向收敛（下山）。

好了，我们现在可以回归到梯度的问题了。什么是梯度呢？函数在某一点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

我们以一元线性回归为例，假设模型为:

$$ y=f(x)={{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot x $$

此时，${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$都是未知的，是需要去拟合的参数。当我们初步确定了${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$的值之后，我们需要定义一个损失函数这对参数${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$的拟合程度进行衡量，一般用预测值与真实值之间的误差平方和来作为损失函数：

$$ J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{i}}-{{y}_{i}})}^{2}}} $$

注意，在这个损失函数中，${{x}_{i}}$和${{y}_{i}}$都是已知的值，${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$才是变量。如果你足够细心的话，你会发现上面的函数表达式中，多了一个$\frac{1}{2}$，这个$\frac{1}{2}$对损失函数$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})$在何处取得最小值并无影响，只是为了后续求导方便而添加的，千万不要纠结这个。作为损失函数，我们要做的就是求出${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$具体值使$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})$最小。这就可以用上梯度的知识了，$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})$中有两个位置参数，所以，我们需要使用偏导。
然后分别对${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$求偏导：

$$ \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{0}}}=2\cdot \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{i}}-{{y}_{i}})=}\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})} $$

$$ \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{1}}}=2\cdot \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{i}}({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{i}}-{{y}_{i}}))=}\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{i}}\cdot (f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})}) $$

至此，等号右边就没有了未知参数，就是说可以通过计算获取偏导。另外还记得上面说的$\frac{1}{2}$吗，这不就被约去了吗？

上面的函数只有两个参数，我们继续扩展到$n$个参数的情况，这时候该怎么求偏导（梯度）呢？

此时函数表达式为：

$$ f({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})={{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}} $$

损失函数为：

$$ \begin{align} J({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})&=\frac{1}{2m}\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}{{{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})}^{2}}} \\ &=\frac{1}{2m}\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})}^{2}}} \end{align} $$

求偏导：

$$ \begin{align} & \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}},\ldots ,{{\theta }_{n}})}{\partial {{\theta }_{k}}}=\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{k}}}\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})}^{2}}} \\ & =\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{2\cdot ({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})\cdot }\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{k}}}({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}}) \\ \end{align} $$

在${{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}}$中，只有${{\theta }_{k}}\cdot {{x}_{k}}$这一项是未知参数，所以对${{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}}$求导时，只会留下${{\theta }_{k}}$，所以上式可以化简为：

$$ \begin{align} & \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}},\ldots ,{{\theta }_{n}})}{\partial {{\theta }_{k}}}=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{2\cdot ({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})\cdot }{{\theta }_{k}} \\ & =\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})\cdot }{{\theta }_{k}} \\ \end{align} $$

这就是更一般化的求偏导公式

5、更新梯度

知道怎么求偏导，我们就可以获得在不同位置下的梯度，进一步的，就可以进行梯度更新，还是先以上面说过的一元线性回归为例，假设本次参数初始取值为${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$，下一次参数取值${{{{\theta }'}}_{0}}$和${{{{\theta }'}}_{1}}$：

$$ {{{{\theta }'}}_{0}}\text{=}{{\theta }_{0}}\text{-}\beta \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{0}}}\text{=}{{\theta }_{0}}-\frac{\beta }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})} $$

$$ {{{{\theta }'}}_{1}}\text{=}{{\theta }_{1}}\text{-}\beta \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{1}}}\text{=}{{\theta }_{1}}-\frac{\beta }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{i}}(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}}))} $$

然后通过上面的两个公式不断迭代更新参数${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$，直到梯度不在下降，即偏导数为0。用上面的下山问题来说，就是每走一步都计算一下最陡的方向，然后朝这个方向迈一步，然后又计算哪个方向最陡，继续朝这个方向迈步……直到走到一个地方无论朝哪个方向走，海拔都不会降低，那么就认为到了最低的山谷。

那么，上面两个式子中的$\beta$是什么呢？在梯度下降算法中，这个$\beta$被称为学习率，用于控制下降的速度。还是用下山问题来解释，偏导可以告诉我们，哪个方向最陡，而且偏导的大小就意味着朝这个方向迈一步可以走多远，如果你觉得这一步的的距离满足不了你，那么你可以让 $\beta$ 大于1，偏导乘以这个$\beta$，那么你一步可以走的更远；如果你觉得下山步子太大危险，你可以让$\beta$处于0和1之间，然后偏导乘以$\beta$，这样一步迈出距离就会小一些。

是不是$\beta$越大越好呢？不是，有句话怎么说来着，步子大了容易扯着蛋，本来一步正常是走1米，你非要一步走1千米，就可能直接从这座山跨到领一座山，直接跃过了山谷，还怎么找山谷。

是不是$\beta$越小越好呢？也不是，$\beta$太小的话，下山太慢，正常一步1米，你非要一步1毫米，几十年也下不了山，另外，如果半山腰处有个小坑洼，如果踩了进去，由于步子太小，无论朝哪个方向迈步，都是上坡，就会以为到了山谷，在函数优化问题上，这就是陷入局部最优。

所以，$\beta$的大小还是要视情况而定。

更一般化的，我们将上述梯度更新公式应用到更多维的情况。应用到多维上也是一样的，只不过计算量更大，因为每一维度都要先求偏导，然后通过下面公式更新参数：

$$ {{{{\theta }'}}_{k}}\text{=}{{\theta }_{k}}\text{-}\beta \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{k}}}\text{=}{{\theta }_{k}}-\frac{\beta }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{k}}(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}}))} $$

以上是梯度下降法的一种理解方式，当然，也可以通过泰勒公式对目标函数进行展开推倒得到。

同步更新问题：

6、参考链接

• https://www.cnblogs.com/chenh...