监督学习算法模型评估

在分类模型评判的指标中，常见的方法有如下三种：

1. 混淆矩阵（也称误差矩阵，Confusion Matrix）
2. ROC曲线
3. AUC值

在回归模型评价指标中，常用的方法有如下几种：

1. MSE
2. RMSE
3. MAE
4. R2

混淆矩阵(Confusion matrix)

在机器学习领域中，混淆矩阵（confusion matrix）是一种评价分类模型好坏的形象化展示工具。

混淆矩阵的定义

混淆矩阵是ROC曲线绘制的基础，同时它也是衡量分类型模型准确度中最基本，最直观，计算最简单的方法。

在机器学习领域，混淆矩阵（confusion matrix），又称为可能性表格或是错误矩阵。它是一种特定的矩阵用来呈现算法性能的可视化效果，通常是监督学习（非监督学习，通常用匹配矩阵：matching matrix）。其每一列代表实际的类别，每一行代表的是预测值（反之亦然）。这个名字来源于它可以非常容易的表明多个类别是否有混淆（也就是一个class被预测成另一个class）。

大白话来讲，混淆矩阵就是分别统计分类模型归错类，归对类的观测值个数，然后把结果放在一个表里展示出来。这个表就是混淆矩阵。就是对机器学习算法的运行结果进行评价，效果如何，精确度怎么样而已。

混淆矩阵是评判模型结果的指标，属于模型评估的一部分。此外，混淆矩阵多用于判断分类器（Classifier）的优劣，适用于分类型的数据模型，如分类树（Classification Tree）、逻辑回归（Logistic Regression）、线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）等方法。

混淆矩阵的指标

一级指标

我们通过样本的采集，能够直接知道真实情况下，哪些数据结果是positive，哪些结果是negative。同时，我们通过用样本数据跑出分类型模型的结果，也可以知道模型认为这些数据哪些是positive，哪些是negative。

因此，我们就能得到这样四个基础指标，我称他们是一级指标（最底层的）：

• True Positive(真正, TP)：真实值是positive，模型认为是positive的数量
• False Negative(假负 , FN)：真实值是positive，模型认为是negative的数量 → 误报 (Type I error)
• False Positive(假正 , FP)：真实值是negative，模型认为是positive的数量 → 漏报 (Type II error)
• True Negative(真负 , TN)：真实值是negative，模型认为是negative的数量

将这四个指标一起呈现在表格中，就能得到如下这样一个矩阵，我们称它为混淆矩阵（Confusion Matrix）：

预测性分类模型，肯定是希望越准越好。那么，对应到混淆矩阵中，那肯定是希望TP与TN的数量大，而FP与FN的数量小。

所以模型预测错误就有两种情况：假负和假正。对于不同的场景，我们对模型的要求也不同。

• 对于诊断疾病的模型（假设疾病患者为正类，健康患者为负类），假负（把病人诊断为健康，会错过最佳治疗时间）比假正情况更严重，所以该模型应该更倾向于找出所有为positive的样本（患病的就诊者）；
• 对于垃圾邮件检测模型（假设垃圾邮件为正类，正常邮件为负类），假正（把正常邮件检测为垃圾邮件，会错过重要邮件）比假负情况更严重，所以该模型应该更倾向于选出所有为negative的样本（正常邮件）。

针对这两种场景，就需要两个指标，查准率和查全率。

疾病检测模型需要的是高召回率，即尽量不漏过任何一个正样本；垃圾邮件检测模型需要的是高精确率，即尽量不误判任何一个负样本。

二级指标

但是，混淆矩阵里面统计的是个数，有时候面对大量的数据，光凭算个数，很难衡量模型的优劣。因此混淆矩阵在基本的统计结果上又延伸了如下4个指标，我称他们是二级指标（通过最底层指标加减乘除得到的）：

• 准确率（Accuracy）—— 针对整个模型
• 精确率（Precision）
• 灵敏度（Sensitivity）：就是召回率（Recall）
• 特异度（Specificity）

我用表格的方式将这四种指标的定义、计算、理解进行了汇总。

通过上面的四个二级指标，可以将混淆矩阵中数量的结果转化为0-1之间的比率。便于进行标准化的衡量。

在信息检索领域，精确率和召回率又被称为查准率和查全率，

$$ 查准率 = \frac{检索出的相关信息量}{检索出的信息总量} $$

$$ 查全率 = \frac{检索出的相关信息量}{系统中的相关信息总量} $$

在正负样本不平衡的情况下，准确率这个评价指标有很大的缺陷。比如在互联网广告里面，点击的数量是很少的，一般只有千分之几，如果用acc，即使全部预测成负类（不点击）acc 也有 99% 以上，没有意义。

在这四个指标的基础上在进行拓展，会产生另外一个三级指标。

三级指标

这个指标叫做F1 Score。他的计算公式是：

$$ F1 Score = \frac{2PR}{P+R} $$

其中，P代表Precision，R代表Recall。

一般来说，查准率高时，查全率往往偏低；而查全率高时，查准率往往偏低。两者的关系可以用一个P-R图来展示（图来自周志华的机器学习）：

F1-Score指标综合了Precision与Recall的产出的结果(精确率和准确率都高的情况下，F1值也会高)。F1-Score的取值范围从0到1的，1代表模型的输出最好，0代表模型的输出结果最差。

混淆矩阵的实例

当分类问题是二分问题是，混淆矩阵可以用上面的方法计算。当分类的结果多于两种的时候，混淆矩阵同时适用。

以下面的混淆矩阵为例，我们的模型目的是为了预测样本是什么动物，这是我们的结果：

通过混淆矩阵，我们可以得到如下结论：

Accuracy

在总共66个动物中，我们一共预测对了10 + 15 + 20=45个样本，所以准确率（Accuracy）=45/66 = 68.2%。

以猫为例，我们可以将上面的图合并为二分问题：

Precision

所以，以猫为例，模型的结果告诉我们，66只动物里有13只是猫，但是其实这13只猫只有10只预测对了。模型认为是猫的13只动物里，有1条狗，两只猪。所以，Precision（猫）= 10/13 = 76.9%

Recall

以猫为例，在总共18只真猫中，我们的模型认为里面只有10只是猫，剩下的3只是狗，5只都是猪。这5只八成是橘猫，能理解。所以，Recall（猫）= 10/18 = 55.6%

Specificity

以猫为例，在总共48只不是猫的动物中，模型认为有45只不是猫。所以，Specificity（猫）= 45/48 = 93.8%。

虽然在45只动物里，模型依然认为错判了6只狗与4只猫，但是从猫的角度而言，模型的判断是没有错的。

F1-Score

通过公式，可以计算出，对猫而言，F1-Score=（2 0.769 0.556）/（ 0.769 + 0.556） = 64.54%

同样，我们也可以分别计算猪与狗各自的二级指标与三级指标值。

通俗理解

刚开始接触这两个概念的时候总搞混，时间一长就记不清了。

实际上非常简单，精确率是针对我们预测结果而言的，它表示的是预测为正的样本中有多少是对的。那么预测为正就有两种可能了，一种就是把正类预测为正类(TP)，另一种就是把负类预测为正类(FP)。

而召回率是针对我们原来的样本而言的，它表示的是样本中的正例有多少被预测正确了。那也有两种可能，一种是把原来的正类预测成正类(TP)，另一种就是把原来的正类预测为负类(FN)。

ROC曲线

ROC曲线简介

很多学习器是为测试样本产生一个实值或概率预测，然后将这个预测值与一个分类阈值(threshold)进行比较，若大于阈值则分为正类，否则为反类.例如，神经网络在一般情形下是对每个测试样本预测出一个［0.0,1.0］之间的实值,然后将这个值与0.5进行比较，大于0.5则判为正例，否则为反例.这个实值或概率预测结果的好坏,直接决定了学习器的泛化能力.实际上根据这个实值或概率预测结果，我们可将测试样本进行排序，“最可能”是正例的排在最前面,“最不可能”是正例的排在最后面.这样，分类过程就相当于在这个排序中以某个''截断点” (cut point)将样本分为两部分，前一部分判作正例，后一部分则判作反例。

在不同的应用任务中，我们可以根据任务需求来采用不同的截断点，例如：

• 更重视“查准率”，则可选择排序中靠前的位置进行截断
• 更重视“查全率”，则可选择排序中靠后的位置进行截断

因此，排序本身的质量好坏，体现了综合考虑学习器在不同任务下的“期望泛化性能”的好坏，或者说，“一般情况下”泛化性能的好坏。ROC曲线就是从这个角度出发来研究学习器泛化性能的有力工具。

ROC 曲线是另一种用于评价和比较二分类器的工具。它和精确率/召回率曲线有着很多的相似之处，当然它们也有所不同。它将真正类率（true positive rate，即recall）和假正类率（被错误分类的负实例的比例）对应着绘制在一张图中，而非使用精确率和召回率。

ROC 关注两个指标：

$$ true postivate rate(recall): TPR = \frac{TP}{TP+FN} $$

$$ false positive rate: FPR = \frac{FP}{PP+TN} $$

假设采用逻辑回归分类器，其给出针对每个实例为正类的概率，那么通过设定一个阈值如0.6，概率大于等于0.6的为正类，小于0.6的为负类。对应的就可以算出一组$(FPR,TPR)$,在平面中得到对应坐标点。随着阈值的逐渐减小，越来越多的实例被划分为正类，但是这些正类中同样也掺杂着真正的负实例，即$TPR$和$FPR$会同时增大。阈值最大时，对应坐标点为(0,0),阈值最小时，对应坐标点(1,1)。

如下面这幅图，(a)图中实线为ROC曲线，线上每个点对应一个阈值。

• 横轴FPR：FPR越大，预测正类中实际负类越多。
• 纵轴TPR：TPR越大，预测正类中实际正类越多。
• 理想目标：TPR=1，FPR=0,**即图中(0,1)点，故ROC曲线越靠拢(0,1)点，越偏离45度对角线越好。

1. 理想情况下，TPR应该接近1，FPR应该接近0。

   ROC曲线上的每一个点对应于一个threshold，对于一个分类器，每个threshold下会有一个TPR和FPR。

   比如Threshold最大时，TP=FP=0，对应于原点；Threshold最小时，TN=FN=0，对应于右上角的点(1,1)

2. 随着阈值theta增加，TP和FP都减小，TPR和FPR也减小，ROC点向左下移动；

ROC曲线绘制

以FPR作为横轴、TPR作为纵轴作图，就得到了“ROC曲线”，显示ROC曲线的图叫做“ROC图”。如下所示，显然，对角线对应于“随机猜测”模型，而点（0，1）则对应于将所有正例排在所有反例之前的理想模型。

现实任务中通常是利用有限个测试样例来绘制ROC图，此时仅能获得有限个（真正正例率，假正例率）坐标对，无法产生上图（a）中的光滑ROC曲线，只能绘制出上图（b）所示的近似ROC曲线。绘制过程如下：

1. 给定$m^+$个正例和$m^-$个反例，根据学习器预测结果对样例进行排序
2. 设置不同的分类阈值：
   2.1 把分类阈值设为最大，即把所有样例均预测为反例，此时TPR=FPR=0。在坐标(0,0)处标记一个点。
   2.2 将分类阈值依次设为每个样例的预测值，即依次将每个样例划分为正例。设前一个标记点坐标为$(x,y)$：
   当前若为真正例(TP)，则对应标记点的坐标为$(x, y+\frac{1}{m^+})$
   当前若为假正例(FP)，则对应标记点的坐标为 $(x+\frac{1}{m^-}, y)$
3. 最后用线段连接相邻点即得ROC曲线

ROC实例

为方便大家进一步理解，在网上找到了一个示例跟大家一起分享。下图是一个二分模型真实的输出结果，一共有20个样本，正样本10个，负样本10个。输出的概率就是模型判定其为正例的概率，第二列是样本的真实标签。

现在我们指定一个阈值为0.9，那么只有第一个样本（0.9）会被归类为正例，而其他所有样本都会被归为负例，因此，对于0.9这个阈值，我们可以计算出$FPR$为0，$TPR$为0.1（因为总共10个正样本，预测正确的个数为1），那么我们就知道曲线上必有一个点为(0, 0.1)。再看第三个样本(0.7), 我们指定阈值为0.7，则预测正样本的为[1, 2, 3]，此时TP=2, FP=1，则可以计算出$FPR= 1/10$，$TPR=2 / 10$。依次选择不同的阈值（或称为“截断点”），画出全部的关键点以后，再连接关键点即可最终得到ROC曲线如下图所示。

优点

相比 P-R 曲线来说，ROC 曲线有一个很大的特点：ROC 曲线的形状不会随着正负样本分布的变化而产生很大的变化，而 P-R 曲线会发生很大的变化。

如上图测试集负样本数量增加 10 倍以后 P-R 曲线发生了明显的变化，而 ROC 曲线形状基本不变。在实际环境中，正负样本的数量往往是不平衡的，所以这也解释了为什么 ROC 曲线使用更为广泛。

AUC

AUC（Area Under Curve）被定义为ROC曲线下的面积，显然这个面积的数值不会大于1。

The AUC value is equivalent to the probability that a randomly chosen positive example is ranked higher than a randomly chosen negative example.

翻译过来就是，随机挑选一个正样本以及一个负样本，分类器判定正样本的值高于负样本的概率就是 AUC 值。

简单说：AUC值越大的分类器，正确率越高3。

• $AUC=1$，完美分类器，采用这个预测模型时，不管设定什么阈值都能得出完美预测。绝大多数预测的场合，不存在完美分类器。
• $0.5<AUC<1$，优于随机猜测。这个分类器（模型）妥善设定阈值的话，能有预测价值。
• $AUC=0.5$，跟随机猜测一样（例：丢铜板），模型没有预测价值。
• $AUC<0.5$，比随机猜测还差；但只要总是反预测而行，就优于随机猜测，因此不存在 $AUC<0.5$ 的情况。

既然已经这么多评价标准，为什么还要使用ROC和AUC呢？因为ROC曲线有个很好的特性：当测试集中的正负样本的分布变化的时候，ROC曲线能够保持不变。在实际的数据集中经常会出现类不平衡（class imbalance）现象，即负样本比正样本多很多（或者相反）

MSE、RMSE、MAE、R2

定义

• MSE(Mean Squared Error) 均方误差，$P=\frac{1}{m} \sum(y_i- f(x_i))^2$
• RMSE(Root Mean Squared Error) 均方根误差，$P= \sqrt{ \frac{1}{m} \sum(y_i- f(x_i))^2}$
• MAE(Mean Absolute Error) 平均绝对误差，$P=\frac{1}{m} \sum|y_i- f(x_i)|^2$
• $R^2$，决定系数，

优缺点

MSE、RMSE、MAE、$R^2$ 主要用于回归模型。

MSE 和 RMSE 可以很好的反应回归模型预测值和真实值的偏离成都，但如果存在个别离群点的偏离程度非常大时，即使其数量非常少也会使得RMSE指标变差（因为用了平方）。解决这种问题主要有三个方案：

1. 如果认为是异常点时，在数据预处理的时候就把它过滤掉；
2. 如果不是异常点的话，就提高模型的预测能力，将离群点产生的原因建模进去；
3. 此外也可以找鲁棒性更好的评价指标，如：MAE；

参考链接

• 西瓜书《机器学习》 周志华。
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/...
• 一文详尽系列之模型评估指标