LeetCode 水壶问题

水壶问题

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题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/

题目

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有两个容量分别为 x 升和 y 升的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z 升的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z 升水。

你允许：

• 装满任意一个水壶
• 清空任意一个水壶
• 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True

示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

解题思路

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思路：裴蜀定理

裴蜀定理是关于最大公约数的定理。

对于任何整数 a、b 和 m，d 为 a 及 b 的最大公约数，关于未知数 x 和 y 的线性不定方程：

$$ax + by = m$$

有整数解时，当且仅当 m 是 a 及 b 的最大公约数 d 的倍数。

审题可得：其实每次操作可以认为是让壶里的水总量增加 x，增加 y，减少 x，减少 y。

这里涉及到一个壶的水不空的情况下，那么对于上面的结论来说明显是不成立。不着急，这里解释下：

对于示例 1，题目给出 x = 3, y = 5, z = 4。

尝试如何让壶盛放 4 升的水。（这里将可盛放 x 升水的壶设为 A，可盛放 y 升水的壶设为 B，形如 （0， 0），表示两个壶盛放的水）

1. 首先将 B 装满，此时两个壶盛放水的情况：（0， 5）；
2. 将 B 壶的水倒入 A 中，两个壶的情况：（3， 2）；
3. 将 A 壶中的水倒掉，两个壶的情况：（0， 2）；
4. 再次将 B 壶中的水倒入 A 中，此时：（2， 0）；
5. 将 B 壶装满，此时两个壶的情况：（2， 5）；
6. 将 B 壶的水倒入 A 中直至倒满，此时：（3， 4）。

这个时候 ，B 壶中的水为 4 升，即是所求得结果。

• 在这里，我们可以观察到，在操作的过程中，是不会让两个壶同时有水且不满的情况发生。
• 而且，给未满的壶盛放水并没有意义。假设给一个未满的壶盛放水时，如果另外一个壶是满的，那这种情况就相当于初始状态下直接给两个壶装满；如果另一个壶是空的，那这个就相当于是直接在初始状态下，给当前壶盛满水。
• 同样的，将未满的壶中的水倒掉也是没有意义的。假设倒掉一个未满的壶中的水，如果另外一个壶是满的，这种情况就相当于初始状态下直接给另外一个壶装满水；如果另外一个壶是空的，那么这将又回到初始的状态。

所以这里就可以明确前面所得的结论：每次操作，水的总量只会带来 x 或 y 的变化量。

现在我们将问题转化为求一对整数 a，b，使得

$$ax + by = z$$

只要满足 $z \leq x+y$，表示目标可得。

注意，这里跟上面的裴蜀定理的式子有所不同，这里 a，b 表示所需求得的目标，而 x，y 已知。（与裴蜀定理式子刚好反过来）。

由题可知：

当 $a \geq 0, b \geq 0$ 时，可求得目标；

当 $a<0$ 时，则需要进行以下操作：（延用上面的 A 壶，B 壶）

• 先往 B 壶装满水；
• 将 B 壶的水往 A 壶倒；
• 这个时候，如果 B 壶还有水，表示 A 壶满了。将 A 壶的水倒掉，将 B 壶剩余的水倒入 A 壶中。

重复上面的操作，直到对 A 壶进行 a 次清空，而对 B 壶进行 b 次倒水操作。

当 $b<0$ 时，跟上面的情况类似，将对 A 壶和 B 壶的操作调换过来即可。

根据裴蜀定理， $ax+by=z$ 有解，当且仅当 z 是 x，y 的最大公约数的倍数。所以我们只要找到 x，y 的最大公约数，然后判断 z 是否是这个最大公约数的倍数即可求得答案。

代码实现

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class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:  
        import math
        if x + y < z:
            return False
        if x == 0 or y == 0:
            return z == 0 or x + y == z
        return z % math.gcd(x, y) == 0

实现结果

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以上就是根据裴蜀定理，求最大公约数，判断是否有解来解决《水壶问题》的主要内容。

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