【数据结构】之二分搜索树

一、引言

二分搜索树是一种动态的数据结构，其具有唯一的根节点，每个节点最多有两个字节点，并且最多有一个父亲节点；二分搜索树每个节点的值都大于其左子树的值，小于其右子树的值；二分搜索树中的元素都具备可比较性。二分搜索树也具有天然的递归结构。

• 具有唯一的根节点
• 每个节点最多有两个子节点
• 每个节点最多有一个父亲节点
• 每个节点的值都大于左子树的值
• 每个节点的值都小于右子树的值
• 树中元素都具备可比较性

二、实现

• 二分搜索树类

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

/**
 * 二分搜索树（递归实现）
 */
public class BST<E extends Comparable<E>> {
    private class Node {
        /**
         * 节点中元素
         */
        public E e;

        /**
         * 左节点
         */
        public Node left;

        /**
         * 右节点
         */
        public Node right;

        public Node(E e) {
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    public BST() {
        root = null;
        size = 0;
    }

    /**
     * 树的根节点
     */
    private Node root;

    /**
     * 树中元素个数
     */
    private int size;

    /**
     * 返回树中元素个数
     * @return
     */
    public int size() {
        return size;
    }

    /**
     * 判断树是否没空
     * @return
     */
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    /**
     * 向树中添加元素
     * @param e 元素
     */
    public void add(E e) {
        root = add(root, e);
    }

    /**
     * 向以node为根的树中插入元素（重复元素丢弃）
     * @param node 树节点
     * @param e 待插入元素
     * @return 返回插入新节点后二分搜索树的根
     */
    private Node add(Node node, E e) {
        //递归终止条件
        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(e);
        }

        //递归
        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            node.left = add(node.left, e);
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0){
            node.right = add(node.right, e);
        }

        return node;
    }

    /**
     * 判断树中是否包含元素
     * @param e 待查询的元素
     * @return
     */
    public boolean contains(E e) {
        return contains(root, e);
    }

    /**
     * 向以node为根的树中查询是否包含元素，递归算法
     * @param node 树节点
     * @param e 待查询的元素
     * @return
     */
    private boolean contains(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return false;
        }

        if (e.compareTo(node.e) == 0) {
            return true;
        } else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            return contains(node.left, e);
        } else {
            return contains(node.right, e);
        }
    }

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void preOrder() {
        preOrder(root);
    }

    /**
     * 前序遍历以node为根的树，递归算法
     * @param node 树节点
     */
    private void preOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

    /**
     * 前序遍历（非递归实现，借助栈）
     */
    public void preOrderNR() {
        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);

        while (!stack.isEmpty()) {
            Node curNode = stack.pop();
            System.out.println(curNode.e);
            if (curNode.right != null) {
                stack.push(curNode.right);
            }
            if (curNode.left != null) {
                stack.push(curNode.left);
            }
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void inOrder() {
        inOrder(root);
    }

    /**
     * 中序遍历以node为根的树，递归算法
     * @param node 树节点
     */
    private void inOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

    /**
     * 后序遍历
     */
    public void postOrder() {
        postOrder(root);
    }

    /**
     * 中序遍历以node为根的树，递归算法
     * @param node 树节点
     */
    private void postOrder(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        postOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        postOrder(node.right);
    }

    /**
     * 层序遍历（广度优先，使用队列）
     */
    public void levelOrder() {
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);

        while (!queue.isEmpty()) {
            Node curNode = queue.remove();
            System.out.println(curNode.e);
            if (curNode.left != null) {
                queue.add(curNode.left);
            }
            if (curNode.right != null) {
                queue.add(curNode.right);
            }
        }
    }

    /**
     * 寻找二分搜索树中的最小元素
     * @return
     */
    public E minimum() {
        if (size == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
        }
        return minimum(root).e;
    }

    /**
     * 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
     * @param node 树节点
     * @return
     */
    private Node minimum(Node node) {
        if (node.left == null) {
            return node;
        }
        return minimum(node.left);
    }

    /**
     * 寻找二分搜索树中的最大元素
     * @return
     */
    public E maximum() {
        if (size == 0) {
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
        }
        return maximum(root).e;
    }

    /**
     * 从二分搜索树中删除最小值所在的节点，返回最小值
     * @return
     */
    public E removeMin() {
        E minElement = minimum();
        root = removeMin(root);
        return minElement;
    }

    /**
     * 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
     * 返回删除节点后新的二分搜索树的根
     * @param node 树节点
     * @return
     */
    private Node removeMin(Node node) {
        if (node.left == null) {
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size--;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    /**
     * 从二分搜索树中删除最大值所在的节点，返回最大值
     * @return
     */
    public E removeMax() {
        E maxElement = maximum();
        root = removeMax(root);
        return maxElement;
    }

    /**
     * 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
     * 返回删除节点后新的二分搜索树的根
     * @param node 树节点
     * @return
     */
    private Node removeMax(Node node) {
        if (node.right == null) {
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size--;
            return leftNode;
        }

        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }

    /**
     * 从二分搜索树中删除元素为e的节点
     * @param e 待删除元素
     */
    public void remove(E e) {
        root = remove(root, e);
    }

    /**
     * 删除以node为根的二分搜索树中值为e的节点，递归算法
     * @param node 树节点
     * @param e 待删除元素
     * @return 返回删除节点后新的二分搜索树的根
     */
    private Node remove(Node node, E e) {
        if (node == null) {
            return null;
        }

        if (e.compareTo(node.e) < 0) {
            node.left = remove(node.left, e);
        } else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
            node.right = remove(node.right, e);
        } else {
            //待删除节点左子树为空的情况
            if (node.left == null) {
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size--;
                return rightNode;
            }
            //待删除节点右子树为空的情况
            if (node.right == null) {
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size--;
                return leftNode;
            }
            //待删除节点左右子树均不为空的情况
            //找到比待删除节点大的最小节点，即待删除节点右子树的最小节点
            //用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            return successor;
        }
        return node;
    }

    /**
     * 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
     * @param node 树节点
     * @return
     */
    private Node maximum(Node node) {
        if (node.right == null) {
            return node;
        }
        return maximum(node.right);
    }

    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        generateBSTString(root, 0, res);
        return res.toString();
    }

    /**
     * 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字串
     * @param node 树节点
     * @param depth 深度
     * @param res
     */
    private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res) {
        if (node == null) {
            res.append(generateDepthString(depth)).append("null").append("\n");
            return;
        }

        res.append(generateDepthString(depth)).append(node.e).append("\n");
        generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
        generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
    }

    private String generateDepthString(int depth) {
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < depth; i++) {
            res.append("--");
        }
        return res.toString();
    }

}

三、复杂度分析

• 满二分搜索树节点元素与深度的关系

• 满二分搜索树时间复杂度

• 时间复杂度logn与n的差别

	logn	n
n=16	4	16	相差4倍
n=1024	10	1024	相差100倍
n=1000000	20	1000000	相差50000倍

说明：二分搜索树的相关操作的时间复杂度近乎是O(logn)级别，前提是这棵树是较优的树，最坏情况是深度等于元素个数，这种极端情况下二分搜索树的就成了一个链表，时间复杂度成了O(n)级别，这也是二分搜索树的缺点。

四、其它数据结构

• 【数据结构】之动态数组
• 【数据结构】之栈
• 【数据结构】之队列
• 【数据结构】之链表
• 【数据结构】之堆
• 【数据结构】之线段树（区间树）
• 【数据结构】之字典树（前缀树、Trie）
• 【数据结构】之并查集
• 【数据结构】之AVL（平衡二叉树）
• 【数据结构】之红黑树
• 【数据结构】之哈希表