一、引言
AVL树是一颗自平衡的二分搜索树。它在新增、删除操作时根据平衡因子（左右子树高度差）来确定进行左旋、右旋操作，以使得可能被破坏了平衡的树得到再平衡，保证了AVL树的查询效率。
- 具有唯一的根节点
- 每个节点最多有两个子节点
- 每个节点最多有一个父亲节点
- 每个节点的值都大于左子树的值
- 每个节点的值都小于右子树的值
- 树中元素都具备可比较性
- 对于任意要一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1
1、二分搜索树的问题
假设向二分搜索树中按顺序添加元素1、2、3、4、5、6。这种极端情况下二分搜索树会退化成链表，查询的时间复杂度退化成O(n)。AVL树弥补了这一缺陷。
2、AVL树
- 新增节点后，破坏了树的平衡，重新计算树的高度，根据平衡因子便于下一步的旋转操作，以达到树的再平衡。
- 维护树的平衡
说明：新增节点操作，从根节点出发，找到节点插入的合适位置，然后沿着节点向上维护平衡性，因为只有可能插入节点的祖先节点会被破坏平衡性。
- 完全左边倾斜的树（LL）
- 右旋操作后的树
- 完全右边倾斜的树（RR）
- 左旋操作后的树
- 插入的元素在不平衡节点的左侧的右侧（LR）
说明：对于LR型不平衡树，单纯地对不平衡节点进行右旋操作并不能使树达到再平衡。需要进行两次旋转操作。首先需要对x节点进行左旋转操作，此操作过后就变成了LL型不平衡树，然后再对y节点进行右旋转操作，使得树再平衡。
- 插入的元素在不平衡节点的右侧的左侧（RL）
说明：对于RL型不平衡树，单纯地对不平衡节点进行左旋操作并不能使树达到再平衡。需要进行两次旋转操作。首先需要对x节点进行右旋转操作，此操作过后就变成了RR型不平衡树，然后再对y节点进行左旋转操作，使得树再平衡。
二、实现
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
private class Node{
/**
* 节点元素key
*/
public K key;
/**
* 节点元素value
*/
public V value;
/**
* 左右孩子节点
*/
public Node left, right;
/**
* 节点高度值
*/
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
this.height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
/**
* 判断该二叉树是否是一颗二分搜索树
* @return
*/
public boolean isBST() {
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
/**
* 中序遍历
* @param node 节点
* @param keys 保存节点元素的key
*/
private void inOrder(Node node, ArrayList keys) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
/**
* 判断该二叉树是否是一颗平衡二叉树
* 平衡二叉树：对于任意节点，它的左右子树的高度差不能查过1
* @return
*/
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
/**
* 判断以node为根的二叉树是否是一颗平衡二叉树，递归算法
* @param node
* @return
*/
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {
return true;
}
//平衡因子（节点左右子树高度差的绝对值）
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
/**
* 获取节点高度
* @param node
* @return
*/
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return node.height;
}
/**
* 计算节点的平衡因子
* @param node 节点
* @return
*/
private int getBalanceFactor(Node node) {
if(node == null)
return 0;
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
/**
* 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
* @param key 元素key
* @param value 元素value
*/
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
/**
* 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
* y x
* / \ / \
* x T4 向右旋转 (y) z y
* / \ - - - - - - - -> / \ / \
* z T3 T1 T2 T3 T4
* / \
* T1 T2
* @param y 不平衡的树节点
* @return 经过右旋操作后重新平衡的树节点
*/
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node t3 = x.right;
//向右旋转过程
x.right = y;
y.left = t3;
//更新x、y节点的高度
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
/**
* 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
* y x
* / \ / \
* T1 x 向左旋转 (y) y z
* / \ - - - - - - - -> / \ / \
* T2 z T1 T2 T3 T4
* / \
* T3 T4
* @param y 不平衡的树节点
* @return 经过左旋操作后重新平衡的树节点
*/
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node t2 = x.left;
//向左旋转操作
x.left = y;
y.right = t2;
//更新x、y节点的高度
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
/**
* 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
* 返回插入新节点后二分搜索树的根
* @param node 树节点
* @param key 元素key
* @param value 元素value
* @return 返回插入新节点后二分搜索树的根
*/
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
// key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
}
//更新当前节点的height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
//计算节点的平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
// System.out.println("unbalanced : " + balanceFactor);
// }
//平衡维护(当前节点整体向坐倾斜)LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);
}
//平衡维护(当前节点整体向右倾斜)RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);
}
//平衡维护LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
//LR => LL
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//平衡维护RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
//RL => RR
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
/**
* 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
* @param node 节点
* @param key 元素key
* @return
*/
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
/**
* 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
* @param node
* @return
*/
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
/**
* 从二分搜索树中删除键为key的节点
* @param key
* @return
*/
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else { // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
retNode = rightNode;
} else if (node.right == null) {
// 待删除节点右子树为空的情况
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
//边界处理（假如删除的是叶子节点）
if (retNode == null) {
return null;
}
//更新当前节点的height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
//计算节点的平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
//平衡维护(当前节点整体向坐倾斜)LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);
}
//平衡维护(当前节点整体向右倾斜)RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);
}
//平衡维护LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
//LR => LL
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
//平衡维护RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
//RL => RR
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
}~~~~三、时间复杂度分析
- AVL树再二分搜索树的基础之上进行优化，，在新增节点、删除节点操作中加入了自动平衡特性。增加了一点维护高度、平衡因子、左右旋转等计算损耗。但是大大提高了查询性能。其时间复杂度在O(logn)级别。
java
**粗体** _斜体_ [链接](http://example.com) `代码` - 列表 > 引用。你还可以使用@来通知其他用户。