【数据结构】之线段树（区间树）

一、引言

线段树又名区间树（segment tree），线段树也是一种树结构，该数据结构主要解决区间计算问题，叶子节点保存不可分割的最小区间的值，而非叶子节点保存的是当前区间的状态，例如求区间最大值、最小值、求和等等；线段树不是完全二叉树，但线段树是一颗平衡二叉树。

1、什么是线段树

• 假设有如下数组

• 用线段树表示以上数组

说明：以上线段树构建于具有8个元素的数组，目的在于求任意区间的元素之和。根节点保存的是整个数组区间的元素之和，其左节点表示[0,3]子区间的元素之和，其右节点表示[4,7]子区间的元素之和，依次类推，直到叶子节点表示的是单个元素的值。这个示例方便与计算区间之和，计算区间的值不需要遍历整个数组，沿着根节点往叶子节点方向寻找合适的区间。时间复杂度在O(logn)级别。

二、实现

1、基于静态数组实现线段树

• 线段树融合接口

/**
 * 融合接口
 * @param <E>
 */
public interface Merger<E> {

    /**
     * 融合操作
     * @param a 元素
     * @param b 元素
     * @return
     */
    E merge(E a, E b);

}

• 线段树实现

/**
 * 线段树，基于静态数组实现
 * @param <E>
 */
public class SegmentTree<E> {

    /**
     * 线段树容器，静态数组
     */
    private E[] tree;
    private E[] data;

    /**
     * 融合器，处理元素融合逻辑
     */
    private Merger<E> merger;

    public SegmentTree(E[] arr,Merger<E> merger) {
        data = (E[]) new Object[arr.length];
        this.merger = merger;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            data[i] = arr[i];
        }

        //初始化静态数组容器为4n,足够容纳线段树结构
        tree = (E[]) new Object[4 * arr.length];

        //构建线段树
        buildSegmentTree(0, 0, arr.length - 1);
    }

    /**
     * 在treeIndex的位置创建表示区间[l,r]的线段树
     * @param treeIndex 静态数组的索引位置
     * @param l 左边界
     * @param r 右边界
     */
    private void buildSegmentTree(int treeIndex, int l, int r) {

        //叶子节点，终止递归
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = data[l];
            return;
        }

        //左右孩子索引
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        //区间中点
        int mid = l + (r - l) / 2;

        //构建左线段树
        buildSegmentTree(leftTreeIndex, l, mid);

        //构建右线段树
        buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, r);

        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

    public int getSize() {
        return data.length;
    }

    public E get(int index) {
        if (index < 0 || index >= data.length) {
            throw new IllegalArgumentException("index is illegal");
        }
        return data[index];
    }

    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
     * @param index 当前元素索引
     * @return
     */
    private int leftChild(int index) {
        return 2 * index + 1;
    }

    /**
     * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
     * @param index 当前元素索引
     * @return
     */
    private int rightChild(int index) {
        return 2 * index + 2;
    }

    /**
     * 返回区间[queryL,queryR]的值
     * @param queryL 区间左边界
     * @param queryR 区间右边界
     * @return
     */
    public E query(int queryL, int queryR) {
        if (queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0
                || queryR >= data.length || queryL > queryR) {
            throw new IllegalArgumentException("index is illegal");
        }

        return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
    }

    /**
     * 在以treeIndex为根的线段树[l,r]的范围里，搜索区间[queryL,queryR]的值
     * @param treeIndex
     * @param l
     * @param r
     * @param queryL
     * @param queryR
     * @return
     */
    private E query(int treeIndex, int l, int r, int queryL, int queryR) {

        //递归结束，待查找的区间与当前节点的区间完全吻合
        if (l == queryL && r == queryR) {
            return tree[treeIndex];
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        //待查找的区间完全落在右孩子节点上
        if (queryL >= mid + 1) {
            return query(rightTreeIndex, mid + 1, r, queryL, queryR);
        } else if (queryR <= mid) {
            return query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, queryR);
        }

        //待查询区域部分落在左孩子和右孩子
        E leftResult = query(leftTreeIndex, l, mid, queryL, mid);
        E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, r, mid + 1, queryR);

        return merger.merge(leftResult, rightResult);

    }

    /**
     * 将index位置的值，更新为e
     * @param index
     * @param e
     */
    public void set(int index, E e) {
        if (index < 0 || index >= data.length) {
            throw new IllegalArgumentException("index is illegal");
        }

        data[index] = e;
        set(0, 0, data.length - 1, index, e);

    }

    /**
     * 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e
     * @param treeIndex
     * @param l
     * @param r
     * @param index
     * @param e
     */
    private void set(int treeIndex, int l, int r, int index, E e) {
        //递归终止条件，更新叶子节点值
        if (l == r) {
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }

        int mid = l + (r - l) / 2;
        int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
        int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);

        if (index >= mid + 1) {
            set(rightTreeIndex, mid + 1, r, index, e);
        } else {
            set(leftTreeIndex,l,mid,index,e);
        }

        //更新线段树非叶子节点值
        tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex],tree[rightTreeIndex]);

    }

    @Override
    public String toString() {
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        res.append("[");
        for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
            if (tree[i] != null) {
                res.append(tree[i]);
            } else {
                res.append("null");
            }
            if (i != tree.length - 1) {
                res.append(", ");
            }
        }
        res.append("]");
        return res.toString();
    }
}

三、复杂度分析

1、基于静态数组的线段树实现

• 创建线段树：根据静态数组创建线段树，额外用了4n的静态数组空间，然后递归构建线段树填充4n空间的静态数组，时间复杂度是O(4n)。
• 更新线段树：更新线段树某个元素值，需要递归到叶子节点修改叶子节点的值，然后还需要重新计算各个父节点的值。时间复杂度依然之和树的深度相关，为O(logn)。
• 查询线段树：线段树查询合适的区间，是从根节点出发，往叶子节点方向递归，时间复杂度依然之和树的深度相关，为O(logn)。

四、其它数据结构

• 【数据结构】之动态数组
• 【数据结构】之栈
• 【数据结构】之队列
• 【数据结构】之链表
• 【数据结构】之二分搜索树
• 【数据结构】之堆
• 【数据结构】之字典树（前缀树、Trie）
• 【数据结构】之并查集
• 【数据结构】之AVL（平衡二叉树）
• 【数据结构】之红黑树
• 【数据结构】之哈希表